2006-江西文-04 单-必要不充分条件

本题导读

本题考查常用逻辑用语，以及充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 下列四个条件中，$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件的是 ()

A. $p$：$a>b$，$q$：$a^2>b^2$

B. $p$：$a>b$，$q$：$2^a>2^b$

C. $p$：$a{x}^2+b{y}^2=c$ 为双曲线，$q$：$ab<0$

D. $p$：$a{x}^2+bx+c>0$，$q$：$\frac{c}{x^2}+\frac{b}{x}+a>0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. A：$a>b$ 与 $a^2>b^2$ 互不能推出，既不充分也不必要。
2. B：$2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格递增，$a>b\iff 2^a>2^b$，充要。
3. C：双曲线必有 $ab<0$，$p\Rightarrow q$ 但 $q\nRightarrow p$（如 $a=1,b=-1,c=1$ 得 $x^2-y^2=1$ 是双曲线，但取 $a=1,b=-1,c=0$ 不是），$p$ 充分不必要。
4. D：$x\ne 0$ 时 $q\Rightarrow p$；$x=0$ 时 $q$ 无意义而 $p$ 可成立，故 $p\nRightarrow q$，必要不充分。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

(A) $a>b$ 不能推出 $a^2>b^2$（如 $a=1,b=-2$），$a^2>b^2$ 也不能推出 $a>b$，既不充分也不必要。 (B) $2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格递增，$a>b\iff 2^a>2^b$，充要条件。 (C) $a{x}^2+b{y}^2=c$ 为双曲线时必有 $ab<0$，故 $p\Rightarrow q$；但 $ab<0$ 不能推出该方程是双曲线（如 $a=1,b=-1,c=0$），故 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。 (D) 当 $x\ne 0$ 时，$q$ 等价于 $\frac{c}{x^2}+\frac{b}{x}+a>0$，两边同乘 $x^2>0$ 得 $a{x}^2+bx+c>0$，即 $p$，故 $q\Rightarrow p$；但 $p$ 在 $x=0$ 时可以成立而 $q$ 在 $x=0$ 时无意义，故 $p\nRightarrow q$。所以 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：必要不充分条件

核心方法：双向推导逐项检验

避坑指南：D 中 $x\ne 0$ 时 $q\Rightarrow p$；$x=0$ 时 $q$ 无意义而 $p$ 可成立，故 $p\nRightarrow q$，必要不充分；C 是充分不必要，方向别反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自常用逻辑用语，四选项辨析

结论推广: “定义域限制致不充分”型推广到分式条件

方法推广: 注意 $x=0$ 使条件无意义的细节

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-重庆文-02 单-充分不必要条件
• 2009-安徽卷文-04 单-充分必要条件