2006-江苏卷-20 解-含参函数最大值分类讨论

本题导读

换元 $t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\in [\sqrt{2},2]$，$m(t)=\frac{a}{2}{t}^2+t-a$，分段讨论得 $g(a)$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 设 $a$ 为实数，设函数 $f(x)=a\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$ 的最大值为 $g(a)$。

(1) 设 $t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$，求 $t$ 的取值范围，并把 $f(x)$ 表示为 $t$ 的函数 $m(t)$；

(2) 求 $g(a)$；

(3) 试求满足 $g(a)=g\left(\frac{1}{a}\right)$ 的所有实数 $a$。

🔍【思路分析】

破题导航

(1)

1. 由根式有意义得 $-1⩽x⩽1$。
2. $t^2=2+2\sqrt{1-x^2}$，故 $t\in [\sqrt{2},2]$。
3. $\sqrt{1-x^2}=\frac{t^2-2}{2}$，代入得 $m(t)$。 (2)
4. $m(t)=\frac{a}{2}{t}^2+t-a$，$t\in [\sqrt{2},2]$。
5. 按 $a$ 与对称轴位置分类讨论最大值。 (3)
6. 由 $g(a)=g(\frac{1}{a})$ 分段解方程。
7. 注意 $a\ne 0$。

✅【答案】

Success

(1) $t\in [\sqrt{2},2]$，$m(t)=\frac{a}{2}{t}^2+t-a$

(2) $g(a)=\{\begin{array}{ll}a+2,& a>-\frac{1}{2}\\ -a-\frac{1}{2a},& -\frac{\sqrt{2}}{2}<a⩽-\frac{1}{2}\\ \sqrt{2},& a⩽-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

(3) $a\in \left[-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\cup \{1\}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由根式有意义知 $-1⩽x⩽1$。 令 $t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$，则 $t^2=(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}{)}^2=2+2\sqrt{1-x^2}$。 因为 $0⩽\sqrt{1-x^2}⩽1$，所以 $2⩽t^2⩽4$，又 $t⩾0$，故 $t\in [\sqrt{2},2]$。 由 $t^2=2+2\sqrt{1-x^2}$ 得 $\sqrt{1-x^2}=\frac{t^2-2}{2}$。 所以 $f(x)=a\cdot \frac{t^2-2}{2}+t=\frac{a}{2}{t}^2+t-a=m(t)$，$t\in [\sqrt{2},2]$。

(2) $m(t)=\frac{a}{2}{t}^2+t-a$，$m^{\prime }(t)=at+1$。 当 $a>-\frac{1}{2}$ 时，$m^{\prime }(t)=at+1>0$（因 $t⩾\sqrt{2}$，$at+1⩾-\frac{\sqrt{2}}{2}+1>0$）， 故 $m(t)$ 在 $[\sqrt{2},2]$ 上递增，$g(a)=m(2)=2a+2-a=a+2$。 当 $a⩽-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$m^{\prime }(t)=at+1⩽0$，$m(t)$ 递减，$g(a)=m(\sqrt{2})=a+\sqrt{2}-a=\sqrt{2}$。 当 $-\frac{\sqrt{2}}{2}<a⩽-\frac{1}{2}$ 时，顶点 $t_0=-\frac{1}{a}\in [\sqrt{2},2]$， $g(a)=m(t_0)=\frac{a}{2}\cdot \frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}-a=-a-\frac{1}{2a}$。 综上，$g(a)=\{\begin{array}{ll}a+2,& a>-\frac{1}{2}\\ -a-\frac{1}{2a},& -\frac{\sqrt{2}}{2}<a⩽-\frac{1}{2}\\ \sqrt{2},& a⩽-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$。

(3) $g\left(\frac{1}{a}\right)$ 有意义需 $a\ne 0$。 当 $a>0$ 时，$g(a)=a+2$，$g\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a}+2$，由 $a+2=\frac{1}{a}+2$ 得 $a=1$。 当 $-\sqrt{2}⩽a⩽-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$\frac{1}{a}$ 也在 $\left[-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ 内， 此时 $g(a)=g\left(\frac{1}{a}\right)=\sqrt{2}$，恒成立。 当 $a<-\sqrt{2}$ 时，$g(a)=\sqrt{2}$，而 $\frac{1}{a}>-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$g\left(\frac{1}{a}\right)>\sqrt{2}$，不满足。 当 $-\frac{\sqrt{2}}{2}<a<0$ 时，$g(a)>\sqrt{2}$，而 $\frac{1}{a}<-\sqrt{2}$，$g\left(\frac{1}{a}\right)=\sqrt{2}$，不满足。 故满足条件的 $a\in \left[-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\cup \{1\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参函数最大值分类讨论

核心方法：换元分段讨论最大值

避坑指南：$t\in [\sqrt{2},2]$，$m(t)=\frac{a}{2}{t}^2+t-a$；按 $a>-\frac{1}{2}$、$-\frac{\sqrt{2}}{2}<a⩽-\frac{1}{2}$、$a⩽-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 分段；第(3)问注意 $a\ne 0$ 与 $\frac{1}{a}$ 落在哪段

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自含参函数最值问题，考查换元与分类讨论

结论推广: 换元降次后对二次函数顶点分类讨论，推广到含参最值的分段表达式

方法推广: 换元 $t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$ 后先定 $t$ 范围，再讨论对称轴与区间位置

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2012-江西卷文-21 解-含参导数单调性与最值
• 2014-浙江卷文-21 解-导数含参最值
• 2013-浙江卷文-21 解-导数切线含参最值