2006-江苏卷-18 解-六棱柱六棱锥体积最值

本题导读

设 $O{O}_1=x$，$V=\frac{\sqrt{3}}{2}(8+2x-x^2)(x+2)$，$V^{\prime }=\frac{\sqrt{3}}{2}(12-3x^2)$，$x=2$ 时最大。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 $1\text{m}$ 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 $3\text{m}$ 的正六棱锥（如图所示）。试问当帐篷的顶点 $O$ 到底面中心 $O_1$ 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设正六棱锥顶点 $O$ 到底面中心 $O_1$ 距离为 $x$，则棱锥高 $x-1$。
2. 由侧棱长 $3$ 与勾股定理求正六边形边长 $s$：$s^2+(x-1{)}^2=9$。
3. 正六边形面积 $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{s}^2$，体积 $V=S\cdot 1+\frac{1}{3}S(x-1)$。
4. 对 $x$ 求导找最大值。

✅【答案】

Success

当 $O{O}_1=2\text{m}$ 时体积最大

✍【详细解析】

Abstract

设 $O{O}_1=x$（单位 m），则正六棱锥的高为 $x-1$（$x>1$）。 设底面正六边形的边长为 $s$，正六边形中心到顶点的距离等于边长 $s$， 由侧棱长为 $3$，得 $s^2+(x-1{)}^2=3^2=9$，即 $s^2=9-(x-1{)}^2=8+2x-x^2$。 底面正六边形的面积 $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{s}^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}(8+2x-x^2)$。 帐篷体积 $V(x)=S\cdot 1+\frac{1}{3}S(x-1)=S\left(1+\frac{x-1}{3}\right)=S\cdot \frac{x+2}{3}$。 代入 $S$：$V(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}(8+2x-x^2)(x+2)$。 求导：$V^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[(2-2x)(x+2)+(8+2x-x^2)\right]$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}(2x+4-2x^2-4x+8+2x-x^2)=\frac{\sqrt{3}}{2}(12-3x^2)$。 令 $V^{\prime }(x)=0$，得 $x=2$（$x>1$ 舍负根 $-2$）。 当 $1<x<2$ 时 $V^{\prime }>0$，当 $2<x<4$ 时 $V^{\prime }<0$，故 $x=2$ 时体积最大。 所以当 $O{O}_1=2\text{m}$ 时帐篷的体积最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：六棱柱六棱锥体积最值

核心方法：设高建体积函数求导

避坑指南：设 $O{O}_1=x$，$V=\frac{\sqrt{3}}{2}(8+2x-x^2)(x+2)$，$V^{\prime }=\frac{\sqrt{3}}{2}(12-3x^2)$，$x=2$ 取最大；正六边形面积公式 $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{s}^2$ 别错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自立体几何应用题，考查正棱柱棱锥体积建模与导数最值

结论推广: 几何体体积关于高求导求最值，推广到一般立体几何优化问题

方法推广: 正六边形面积 $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{s}^2$，棱锥高与棱柱高分别处理再相加

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2007-重庆文-20 解-框架围长方体体积最值
• 2011-江苏卷-17 解-包装盒折叠最值