2006-江苏卷-15 填-切线与数列求和

本题导读

切线纵截距 $a_n=(n+1)2^n$，$\frac{a_n}{n+1}=2^n$，前 $n$ 项和 $2^{n+1}-2$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 对正整数 $n$，设曲线 $y=x^n(1-x)$ 在 $x=2$ 处的切线与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $a_n$，则数列 $\left\{\frac{a_n}{n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和的公式是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $y=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1}$ 在 $x=2$ 处的导数与函数值。
2. 写出切线方程，令 $x=0$ 求纵截距 $a_n$。
3. 化简 $\frac{a_n}{n+1}$，识别为等比数列求和。

✅【答案】

Success

$2^{n+1}-2$

✍【详细解析】

Abstract

$y=x^n-x^{n+1}$，$y^{\prime }=n{x}^{n-1}-(n+1)x^n$。 在 $x=2$ 处，$y(2)=2^n-2^{n+1}=-2^n$， $y^{\prime }(2)=n\cdot 2^{n-1}-(n+1)2^n=2^{n-1}[n-2(n+1)]=-(n+2)2^{n-1}$。 切线方程为 $y+2^n=-(n+2)2^{n-1}(x-2)$。 令 $x=0$，得纵截距 $a_n=-2^n+(n+2)2^n=(n+1)2^n$。 故 $\frac{a_n}{n+1}=2^n$。 前 $n$ 项和 $S_n=2+2^2+\cdots +2^n=\frac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线与数列求和

核心方法：切线纵截距数列求和

避坑指南：切线 $y-(-2^n)=(n+1)2^{n-1}(x-2)$，纵截距 $a_n=(n+1)2^n$，$\frac{a_n}{n+1}=2^n$，前 $n$ 项和 $2^{n+1}-2$；先求导数再写切线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自导数几何意义与数列求和的综合，考查切线纵截距

结论推广: 曲线切线纵截距构成的数列求和，推广到”导数+数列”综合题的建模

方法推广: 切线方程 $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$，令 $x=0$ 得纵截距

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2010-江苏卷-08 填-切线截距等比数列