2006-江苏卷-14 填-三角化简求值

本题导读

$\cot 20^{\circ }\cos 10^{\circ }+\sqrt{3}\sin 10^{\circ }\tan 70^{\circ }-2\cos 40^{\circ }=2$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） $\cot 20^{\circ }\cos 10^{\circ }+\sqrt{3}\sin 10^{\circ }\tan 70^{\circ }-2\cos 40^{\circ }=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将 $\cot 20^{\circ }$、$\tan 70^{\circ }$ 切化弦。
2. $\tan 70^{\circ }=\cot 20^{\circ }=\frac{\cos 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}$。
3. 合并整理，用和差角、倍角公式化简。
4. 最终结果 $2$。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

$\cot 20^{\circ }=\frac{\cos 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}$，$\tan 70^{\circ }=\cot 20^{\circ }=\frac{\cos 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}$。 原式 $=\frac{\cos 20^{\circ }\cos 10^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}+\sqrt{3}\sin 10^{\circ }\cdot \frac{\cos 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}-2\cos 40^{\circ }$ $=\frac{\cos 20^{\circ }(\cos 10^{\circ }+\sqrt{3}\sin 10^{\circ })}{\sin 20^{\circ }}-2\cos 40^{\circ }$ $=\frac{\cos 20^{\circ }\cdot 2\cos (10^{\circ }-60^{\circ })}{\sin 20^{\circ }}-2\cos 40^{\circ }$ $=\frac{2\cos 20^{\circ }\cos 50^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}-2\cos 40^{\circ }$。 由 $\cos 50^{\circ }=\sin 40^{\circ }$，$\frac{2\cos 20^{\circ }\sin 40^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}-2\cos 40^{\circ }$ $=2\cos 20^{\circ }\cdot \frac{2\sin 20^{\circ }\cos 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}-2\cos 40^{\circ }=4{\cos }^{2}20^{\circ }-2\cos 40^{\circ }$ $=4\cdot \frac{1+\cos 40^{\circ }}{2}-2\cos 40^{\circ }=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角化简求值

核心方法：切化弦与诱导公式

避坑指南：$\cot 20^{\circ }\cos 10^{\circ }+\sqrt{3}\sin 10^{\circ }\tan 70^{\circ }-2\cos 40^{\circ }$ 化为 $2\cos 10^{\circ }\sin 20^{\circ }$ 类式，整体 $=2$；先统一为正弦余弦再和差化积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自三角恒等变换的综合计算，考查切化弦与和差公式

结论推广: 余切、正切统一化弦后合并，推广到一般三角式求值

方法推广: $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$、$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 切化弦是第一步

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2007-湖南卷理-12 填-特殊角三角函数值
• 2008-上海卷理-06 填-三角函数