2006-江苏卷-12 填-线性规划求最值

本题导读

可行域顶点 $(3,4)$ 处 $z=2x+3y$ 取最大，值为 $18$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}2x-y⩽2,\\ x-y⩾-1,\\ x+y⩾1,\end{array}$ 则 $z=2x+3y$ 的最大值为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出三条直线围成的可行域。
2. 找出可行域的顶点：$(0,1)$、$(3,4)$、$(0,-1)$ 等。
3. 目标函数 $z=2x+3y$ 在顶点处取最值，逐点代入。
4. 顶点 $(3,4)$ 处 $z=2\times 3+3\times 4=18$ 最大。

✅【答案】

Success

$18$

✍【详细解析】

Abstract

约束条件围成的可行域是一个三角形区域。 由 $2x-y=2$ 与 $x-y=-1$ 解得交点 $(3,4)$； 由 $x-y=-1$ 与 $x+y=1$ 解得 $(0,1)$； 由 $2x-y=2$ 与 $x+y=1$ 解得 $(1,0)$。 目标函数 $z=2x+3y$ 在各顶点取值： $(3,4)$：$z=2\times 3+3\times 4=18$；$(0,1)$：$z=3$；$(1,0)$：$z=2$。 故 $z$ 的最大值为 $18$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最值

核心方法：画可行域找顶点

避坑指南：三条约束围成三角形，顶点 $(3,4)$ 处 $z=2x+3y$ 取最大 $18$；先判可行性域再代顶点比较

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自线性规划的标准题型，考查可行域与目标函数最值

结论推广: 线性目标函数最值在可行域顶点取得，推广到非线性目标函数的最值分析

方法推广: 先画准可行域边界（含等号判断），再代顶点比较目标函数值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2007-湖北文-11 填-线性规划求最值
• 2008-大纲Ⅰ文-13 填-线性规划最值
• 2009-北京文-11 填-线性规划最值