2006-江苏卷-11 填-正弦定理解三角形

本题导读

由正弦定理 $\frac{AC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{12}{\sin 60^{\circ }}$，得 $AC=4\sqrt{6}$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 在 $△ABC$ 中，已知 $BC=12$，$A=60^{\circ }$，$B=45^{\circ }$，则 $AC=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 已知一边 $BC$ 及其对角 $A$，求 $AC$（对角 $B$）。
2. 正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$。
3. 代入得 $AC=\frac{BC\sin B}{\sin A}=\frac{12\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}$。
4. 计算得 $AC=4\sqrt{6}$。

✅【答案】

Success

$4\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$， 其中 $a=BC=12$，$A=60^{\circ }$，$b=AC$，$B=45^{\circ }$。 故 $\frac{12}{\sin 60^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 45^{\circ }}$， $AC=\frac{12\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{12\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=4\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理解三角形

核心方法：正弦定理求边

避坑指南：由正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$ 得 $AC=\frac{12\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=4\sqrt{6}$；角度对应边别配错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自正弦定理的直接应用，是解三角形的入门必会

结论推广: 已知两角一边用正弦定理解三角形，推广到边角互化的一般问题

方法推广: 正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 中角与边对应不可错位

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2007-北京文-12 填-正弦定理求边
• 2008-陕西文-13 填-正弦定理解三角形
• 2012-北京卷文-11 填-正弦定理解三角形