2006-江苏卷-08 单-不等式恒成立判断

本题导读

C 项 $|a-b|+\frac{1}{a-b}⩾2$ 需 $a-b>0$，若 $a<b$ 不成立，故不恒成立。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 设 $a$、$b$、$c$ 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是 ()

A. $|a-b|⩽|a-c|+|b-c|$　　　　　　　　　　　　B. $a^2+\frac{1}{a^2}⩾a+\frac{1}{a}$

C. $|a-b|+\frac{1}{a-b}⩾2$　　　　　　　　　　　　　　　D. $\sqrt{a+3}-\sqrt{a+1}⩽\sqrt{a+2}-\sqrt{a}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. A 是三角不等式，恒成立。
2. B 配平方 $(a+\frac{1}{a}{)}^2-(a+\frac{1}{a})⩾0$ 需证 $a+\frac{1}{a}⩾2$ 或 $=1$ 类讨论，恒成立。
3. C 中 $a-b$ 可能为负，均值不等式不适用，不恒成立。
4. D 由 $\sqrt{x}$ 增长变慢（凸性）恒成立。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

A：$|a-b|=|(a-c)+(c-b)|⩽|a-c|+|c-b|=|a-c|+|b-c|$，恒成立。 B：$a^2+\frac{1}{a^2}-a-\frac{1}{a}=\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a+\frac{1}{a}-1\right)$，因 $a+\frac{1}{a}⩾2>1$，故恒非负，成立。 C：均值不等式 $x+\frac{1}{x}⩾2$ 要求 $x>0$，但 $a-b$ 可能为负，此时 $|a-b|+\frac{1}{a-b}$ 为负，故不恒成立。 D：由 $\sqrt{a+3}-\sqrt{a+1}=\frac{2}{\sqrt{a+3}+\sqrt{a+1}}$，$\sqrt{a+2}-\sqrt{a}=\frac{2}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a}}$， 且 $\sqrt{a+3}+\sqrt{a+1}>\sqrt{a+2}+\sqrt{a}$，故 $\sqrt{a+3}-\sqrt{a+1}<\sqrt{a+2}-\sqrt{a}$，成立。 故不恒成立的是 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式恒成立判断

核心方法：反例排除法

避坑指南：C 中 $|a-b|+\frac{1}{a-b}⩾2$ 要求 $a-b>0$，若 $a<b$ 则左边为负不成立，故不恒成立；A 三角不等式、B 配平、D 单调递减均恒成立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自基本不等式与绝对值不等式的综合判断，考查恒成立的辨析

结论推广: 不等式恒成立判断可推广到”找反例排除”与”严格证明”两类方法的结合

方法推广: 均值不等式 $a+b⩾2\sqrt{ab}$ 须 $a,b>0$，$a-b$ 为负时不适用

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2014-辽宁卷文-12 单-不等式恒成立
• 2020-上海卷-13 单-不等式恒成立