2006-江苏卷-06 单-向量数量积轨迹方程

本题导读

设 $P(x,y)$，代入数量积式化简得 $\sqrt{x^2+y^2}=2-x$，平方得 $y^2=-8x$。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 已知两点 $M(-2,0)$，$N(2,0)$，点 $P$ 为坐标平面内的动点，满足 $|\overrightarrow{MN}|\cdot |\overrightarrow{MP}|+\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{NP}=0$，则动点 $P(x,y)$ 的轨迹方程为 ()

A. $y^2=8x$　　　　B. $y^2=-8x$　　　　C. $y^2=4x$　　　　D. $y^2=-4x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{MN}=(4,0)$，$|\overrightarrow{MN}|=4$。
2. 设 $P(x,y)$，$\overrightarrow{MP}=(x+2,y)$，$\overrightarrow{NP}=(x-2,y)$。
3. 条件化为 $4\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}+4(x-2)=0$。
4. 化简得 $\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}=2-x$，平方得 $y^2=-8x$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\overrightarrow{MN}=(4,0)$，故 $|\overrightarrow{MN}|=4$。设 $P(x,y)$，则 $\overrightarrow{MP}=(x+2,y)$，$|\overrightarrow{MP}|=\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}$，$\overrightarrow{NP}=(x-2,y)$，$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{NP}=4(x-2)$。 代入条件：$4\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}+4(x-2)=0$，即 $\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}=2-x$。 两边平方：$(x+2{)}^2+y^2=(2-x{)}^2$，展开得 $x^2+4x+4+y^2=x^2-4x+4$， 即 $y^2=-8x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积轨迹方程

核心方法：向量数量积化轨迹

避坑指南：$|\overrightarrow{MN}||\overrightarrow{MP}|+\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{NP}=0$ 化简得 $\sqrt{x^2+y^2}=2-x$，平方得 $y^2=-8x$；注意焦点在负半轴

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自平面向量数量积与圆锥曲线轨迹的综合，是”向量条件化轨迹”的典型

结论推广: 向量模与数量积的等式可统一平方或代入坐标化为轨迹方程，推广到求轨迹的向量表述

方法推广: $|\vec{a}||\vec{b}|$ 类结构常需先平方消根号，注意平方后解集检验

🔗【关联脉络】

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