2006-江苏卷-05 单-二项式正整数指数幂项数

本题导读

通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_{10}^r{x}^{\frac{10-3r}{2}}(-1{)}^r$，指数为正整数即 $r=0,2$，共 $2$ 项。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{3x}\right)}^{10}$ 的展开式中含 $x$ 的正整数指数幂的项数是 ()

A. $0$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_{10}^r(\sqrt{x}{)}^{10-r}{\left(-\frac{1}{3x}\right)}^r$。
2. 整理指数：$(\sqrt{x}{)}^{10-r}\cdot x^{-r}=x^{\frac{10-r}{2}-r}=x^{\frac{10-3r}{2}}$。
3. 要求 $\frac{10-3r}{2}$ 为正整数，$r=0,1,\dots ,10$ 中满足的为 $r=0,2$。
4. 故有 $2$ 项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{3x}\right)}^{10}$ 的通项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_{10}^r(\sqrt{x}{)}^{10-r}{\left(-\frac{1}{3x}\right)}^r={\mathrm{C}}_{10}^r(-1{)}^r{x}^{\frac{10-r}{2}-r}$。 $x$ 的指数为 $\frac{10-r}{2}-r=\frac{10-3r}{2}$。 要求其为正整数，即 $10-3r$ 为正偶数，且 $r$ 为非负整数。 当 $r=0$ 时指数为 $5$，当 $r=2$ 时指数为 $2$，当 $r=4$ 时指数为 $-1$（负），$r=6$ 时为 $-4$（负）。 故含 $x$ 的正整数指数幂的项数为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式正整数指数幂项数

核心方法：通项公式定指数

避坑指南：通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_{10}^r{x}^{\frac{10-r}{2}}(-1{)}^r{x}^{-r}$，指数 $\frac{10-3r}{2}$ 为正整数即 $r=0,2$，共 $2$ 项；别把指数 $0$ 算进正整数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自二项式定理通项公式的常规应用，考查特定指数项的计数

结论推广: 求含 $x^m$ 的项数可推广到求指定指数项、常数项、系数等通式问题

方法推广: 通项指数整理后逐项检验 $r$ 的整数值，注意”正整数指数幂”排除指数为 $0$

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