2006-江苏卷-02 单-圆的切线方程

本题导读

圆心 $(1,-\sqrt{3})$，半径 $1$；直线 $x=0$ 到圆心距离恰为 $1$，是切线。

📌【题干】

Question

（2006年江苏卷） 圆 $(x-1{)}^2+(y+\sqrt{3}{)}^2=1$ 的切线方程中有一个是 ()

A. $x-y=0$　　　　　B. $x+y=0$　　　　　C. $x=0$　　　　　D. $y=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心 $C(1,-\sqrt{3})$，半径 $r=1$。
2. 直线为切线当且仅当圆心到直线距离等于 $1$。
3. 直线 $x=0$：距离 $d=1=r$，符合；其余逐项检验均不为 $1$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

圆 $(x-1{)}^2+(y+\sqrt{3}{)}^2=1$ 的圆心为 $C(1,-\sqrt{3})$，半径 $r=1$。 直线 $x=0$ 到圆心 $C$ 的距离为 $|1|=1=r$，故 $x=0$ 是圆的一条切线。 直线 $x+y=0$ 到圆心距离为 $\frac{|1-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}\ne 1$，$x-y=0$ 为 $\frac{|1+\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}\ne 1$，$y=0$ 为 $|-\sqrt{3}|\ne 1$，均不是切线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线方程

核心方法：圆心到直线距离等于半径

避坑指南：圆心 $(1,-\sqrt{3})$ 半径 $1$；$x=0$ 时圆心到该直线距离为 $1$ 恰相切；$x+y=0$ 距离为 $\frac{|1-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}\ne 1$ 排除

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自直线与圆位置关系的经典判定，与教材”圆心到直线距离”一节对应

结论推广: 切线方程可用”圆心到直线距离等于半径”统一判定，推广到圆上一点、圆外一点切线求解

方法推广: 判定一条直线是否为圆的切线，算距离最稳妥，避免联立判别式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-12 单-公切线与切线方程
• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆