2006-广东卷-18 解-三次函数极值与对称轨迹

本题导读

(1) $f^{\prime }(x)=-3x^2+3=3(1-x^2)$，$x<-1$ 或 $x>1$ 时 $f^{\prime }(x)<0$、$-1<x<1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，故 $x=-1$ 处极小值 $f(-1)=0$、$x=1$ 处极大值 $f(1)=4$，$A(-1,0)$、$B(1,4)$。(2) 设 $P(x,y)$，由 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=4$ 得 $x^2+(y-2{)}^2=9$；圆关于直线 $2x-y-8=0$ 对称得 $Q:(x-8{)}^2+(y+2{)}^2=9$。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 设函数 $f(x)=-x^3+3x+2$ 分别在 $x_1,x_2$ 处取得极小值、极大值，$xOy$ 平面上点 $A,B$ 的坐标分别为 $(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))$，该平面上动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=4$，点 $Q$ 是点 $P$ 关于直线 $y=2(x-4)$ 的对称点，求：

(1) 求点 $A,B$ 的坐标；

(2) 动点 $Q$ 的轨迹方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $f^{\prime }(x)=-3x^2+3=3(1-x^2)$，$x<-1$ 或 $x>1$ 时 $f^{\prime }(x)<0$、$-1<x<1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，故 $x=-1$ 处极小、$x=1$ 处极大。$f(-1)=0$，$f(1)=4$，$A(-1,0)$、$B(1,4)$。
2. (2) 设 $P(x,y)$，$\overrightarrow{PA}=(-1-x,-y)$，$\overrightarrow{PB}=(1-x,4-y)$，由数量积 $(-1-x)(1-x)+(-y)(4-y)=4$ 化简得 $x^2+(y-2{)}^2=9$。
3. 直线 $y=2(x-4)$ 即 $2x-y-8=0$，圆心 $C(0,2)$ 关于它的对称点 $C^{\prime }=(8,-2)$，半径不变，故 $Q$ 的轨迹为 $(x-8{)}^2+(y+2{)}^2=9$。

✅【答案】

Success

(1) $A(-1,0)$，$B(1,4)$

(2) $(x-8{)}^2+(y+2{)}^2=9$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=-3x^2+3=3(1-x^2)$． 当 $x<-1$ 或 $x>1$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，当 $-1<x<1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，故 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值、在 $x=1$ 处取得极大值． 于是 $x_1=-1$，$f(x_1)=f(-1)=0$；$x_2=1$，$f(x_2)=f(1)=4$． 所以 $A(-1,0)$，$B(1,4)$．

（2）设 $P(x,y)$，则 $\overrightarrow{PA}=(-1-x,-y)$，$\overrightarrow{PB}=(1-x,4-y)$．由数量积条件： $(-1-x)(1-x)+(-y)(4-y)=4,$ 整理得 $x^2+(y-2{)}^2=9.$ 即点 $P$ 的轨迹是圆心 $C(0,2)$、半径 $3$ 的圆． 直线 $y=2(x-4)$ 即 $2x-y-8=0$，圆心 $C(0,2)$ 关于该直线的对称点为 $C^{\prime }=(8,-2)$，反射保持半径不变， 故点 $Q$ 的轨迹方程为 $(x-8{)}^2+(y+2{)}^2=9.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值与对称轨迹

核心方法：$f^{\prime }(x)=-3x^2+3=3(1-x^2)$，极小值 $x=-1$ 极大值 $x=1$，$A(-1,0),B(1,4)$；$P$ 轨迹 $x^2+(y-2{)}^2=9$，关于直线对称得 $Q:(x-8{)}^2+(y+2{)}^2=9$

避坑指南：$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=4$ 展开配方得圆；圆关于直线对称圆心、半径不变，用点到直线对称公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三次函数极值与对称轨迹（相关点法）

结论推广: $P$ 轨迹为圆，关于直线对称得 $Q$ 轨迹

方法推广: 相关点法求轨迹：$P$ 满足的条件通过对称关系转化到 $Q$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2007-湖南文-21 解-三次函数极值与切线穿过
• 2008-福建文-21 解-三次函数极值
• 2008-湖北文-17 解-三次函数极值与切线