2006-广东卷-17 解-双圆立几二面角与异面角

本题导读

因 $BC$ 为直径，$\angle BAC=90^{\circ }$，又 $AB=AC=6$，故 $BC=6\sqrt{2}$，$OA=OB=OC=OF=3\sqrt{2}=r$。建系（下方圆面 $z=0$）：$A(0,r,0),B(-r,0,0),C(r,0,0),F(0,-r,0)$；$AD\perp$ 圆面且 $AD=8$，故 $D(0,r,8)$；$OE\parallel AD$ 且 $E$ 在上方圆面内，故 $E(0,0,8)$。(1) 二面角 $B-AD-F$ 的平面角为 $\angle BAF=45^{\circ }$；(2) $\cos \theta =\frac{\sqrt{82}}{10}$。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 如图所示，$AF$、$DE$ 分别是 $\odot O$、$\odot O_1$ 的直径，$AD$ 与两圆所在的平面均垂直，$AD=8$，$BC$ 是 $\odot O$ 的直径，$AB=AC=6$，$OE\parallel AD$。

(1) 求二面角 $B-AD-F$ 的大小；

(2) 求直线 $BD$ 与 $EF$ 所成的角.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $BC$ 是直径，$\angle BAC=90^{\circ }$；$AB=AC=6$，故 $BC=6\sqrt{2}$，半径 $r=OA=OB=OC=OF=3\sqrt{2}$。
2. 建系：下方圆面 $z=0$，$A(0,r,0)$，$B(-r,0,0)$，$C(r,0,0)$，$F(0,-r,0)$。
3. $AD\perp$ 圆面，$AD=8$，故 $D(0,r,8)$；$OE\parallel AD$ 且 $E$ 在上方圆面内，故 $E(0,0,8)$。
4. (1) 二面角 $B-AD-F$ 的平面角可在 $z=0$ 截面内用 $\angle BAF$ 表示，$\overrightarrow{AB}=(-r,-r,0)$，$\overrightarrow{AF}=(0,-2r,0)$，$\cos \angle BAF=\frac{2r^2}{(r\sqrt{2})(2r)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故二面角 $=45^{\circ }$。
5. (2) $\overrightarrow{BD}=(r,r,8)$，$\overrightarrow{EF}=(0,-r,-8)$，$|\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{EF}|=r^2+64=82$，$|BD|=10$，$|EF|=\sqrt{r^2+64}=\sqrt{82}$，$\cos \theta =\frac{82}{10\sqrt{82}}=\frac{\sqrt{82}}{10}$。

✅【答案】

Success

(1) $45^{\circ }$

(2) $\arccos \frac{\sqrt{82}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $BC$ 是直径，$\angle BAC=90^{\circ }$；又 $AB=AC=6$，所以 $BC=6\sqrt{2}$，$OA=OB=OC=OF=3\sqrt{2}$． 建立空间直角坐标系，使下方圆所在平面为 $z=0$，令 $r=3\sqrt{2}$，取 $A(0,r,0),B(-r,0,0),C(r,0,0),F(0,-r,0).$ 由于 $AD\perp$ 平面 $z=0$ 且 $AD=8$，有 $D(0,r,8)$；又 $OE\parallel AD$ 且 $E$ 在上方圆所在平面内，故 $E(0,0,8)$．

（1）二面角 $B-AD-F$ 的平面角可在 $z=0$ 的截面内用 $\angle BAF$ 表示．由 $\overrightarrow{AB}=(-r,-r,0),\overrightarrow{AF}=(0,-2r,0),$ 得 $\cos \angle BAF=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AF}|}=\frac{2r^2}{(r\sqrt{2})(2r)}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 因此二面角 $B-AD-F=45^{\circ }$．

（2）取 $\overrightarrow{BD}=(r,r,8)$，$\overrightarrow{EF}=(0,-r,-8)$，则 $|\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{EF}|=|0\cdot r+(-r)\cdot r+(-8)\cdot 8|=r^2+64=82,$ 而 $|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{2r^2+64}=10$，$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{r^2+64}=\sqrt{82}$．设 $BD$ 与 $EF$ 所成的角为 $\theta$（取锐角），则 $\cos \theta =\frac{82}{10\sqrt{82}}=\frac{\sqrt{82}}{10},$ 所以 $\theta =\arccos \frac{\sqrt{82}}{10}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双圆立几二面角与异面角

核心方法：建系 $r=3\sqrt{2}$：$A(0,r,0),B(-r,0,0),C(r,0,0),F(0,-r,0),D(0,r,8),E(0,0,8)$；(1) 二面角 $=\angle BAF=45^{\circ }$；(2) $\cos \theta =\frac{\sqrt{82}}{10}$

避坑指南：$BC$ 是直径故 $\angle BAC=90^{\circ }$，$OA=OB=OC=r$；$OE\parallel AD$ 定 $E$ 坐标；异面角取锐角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 双圆立几（二面角与异面直线所成角）

结论推广: 建系求角：二面角用截面角 $\angle BAF$，异面角用方向向量夹角取锐角

方法推广: $BC$ 为直径导出 $\angle BAC=90^{\circ }$；异面角 $\theta \in (0,\frac{\pi }{2}]$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2008-重庆文-20 解-二面角射影与异面角
• 2010-天津文-19 解-异面直线角与二面角
• 2007-广东卷理-19 解-空间向量求异面直线所成角