2006-广东卷-04 单-三角形中点向量

本题导读

$D$ 为 $AB$ 中点，$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$，故 $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 如图所示，$D$ 是 $△ABC$ 的边 $AB$ 上的中点，则向量 $\overrightarrow{CD}=$()

A. $-\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$　　　B. $-\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$　　　C. $\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$　　　D. $\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 从 $C$ 到 $D$：先 $C\to B$ 为 $\overrightarrow{CB}$，再 $B\to D$ 为 $\overrightarrow{BD}$。
2. $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}$。
3. $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$，$D$ 为 $AB$ 中点故 $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$。
4. $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由向量加法的三角形法则， $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}.$ 因为 $D$ 是 $AB$ 的中点，$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$；又 $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$，故 $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.$ 选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量的减法与数乘，中点条件 $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ 的使用。
2. 核心方法：把要表示的 $\overrightarrow{CD}$ 拆成”从 $C$ 走到 $B$、再从 $B$ 走到 $D$“两段，即 $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}$，再逐段换成题目给的向量。拆的规矩是首尾相接，中间那个字母 $B$ 必须被消掉。
3. 避坑指南：$\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$，方向反了符号就反；中点只给出 $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$，不要误写成 $\overrightarrow{AD}$。本题四个选项里有两项只差这一个符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三角形中线向量分解，向量的加减

结论推广: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$

方法推广: 向量路径法：从起点沿已知向量走到终点

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-04 单-向量中点特征恒等式
• 2009-湖南卷文-04 单-中点向量和
• 2014-新课标Ⅰ文-06 单-向量中点