2006-广东卷-01 单-根式对数定义域

本题导读

$f(x)=\frac{3x^2}{\sqrt{1-x}}+\lg (3x+1)$，分母 $\sqrt{1-x}$ 要求 $1-x>0$，对数要求 $3x+1>0$，交集 $-\frac{1}{3}<x<1$，选 B。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 函数 $f(x)=\frac{3x^2}{\sqrt{1-x}}+\lg (3x+1)$ 的定义域是()

A. $\left(-\frac{1}{3},+\infty \right)$　　　B. $\left(-\frac{1}{3},1\right)$　　　C. $\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$　　　D. $\left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分式分母 $\sqrt{1-x}$ 不为零且偶次根式有意义：$1-x>0$，得 $x<1$。
2. 对数真数 $3x+1>0$，得 $x>-\frac{1}{3}$。
3. 取交集：$-\frac{1}{3}<x<1$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

要使 $f(x)$ 有意义，须同时满足 $\{\begin{array}{l}1-x>0,\\ 3x+1>0,\end{array}$ 即 $x<1$ 且 $x>-\frac{1}{3}$，故定义域为 $\left(-\frac{1}{3},1\right)$，选 B． （注意：$\sqrt{1-x}$ 在分母位置，故须 $1-x>0$ 而非 $1-x⩾0$．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根式对数定义域

核心方法：$\sqrt{1-x}$ 要求 $1-x>0$（分母），$\lg (3x+1)$ 要求 $3x+1>0$，交集 $-\frac{1}{3}<x<1$

避坑指南：根式在分母位置要 $>0$ 而非 $⩾0$；对数真数 $>0$，两条件取交集

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 2006 广东卷第 1 题，根式与对数复合定义域，基础送分

结论推广: 定义域须同时满足分母非零、偶次根非负、对数真数大于零

方法推广: 复合函数定义域：逐层列出限制条件取交集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷文-03 单-对数定义域与分母非零
• 2012-安徽卷文-02 单-交集与对数定义域