2006-山东卷理-20 解-互斥事件的概率加法公式

本题导读

本题考查古典概型的概率计算以及离散型随机变量的分布列与数学期望。核心在于正确计算样本空间的总基本事件数，并通过对最大数字进行合理分类，精确计算出随机变量各取值对应的事件数。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 袋中装有标有数字 1, 2, 3, 4, 5 的小球各 2 个, 从袋中任取 3 个小球, 按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分, 每小球被取出的可能性都相等, 用 $\xi$ 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：

(1) 取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；

(2) 随机变量 $\xi$ 的概率分布和数学期望；

(3) 计分介于 20 分到 40 分之间的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

总样本数计算：袋中共有 $5\times 2=10$ 个小球。从 10 个球中任取 3 个，总的基本事件数为 $C_{10}^3=120$。 第一问：数字互不相同，意味着从这 5 种不同的数字中选择 3 种不同的数字，每种数字对应 2 个不同的小球，根据乘法原理计算事件数，再除以总事件数。 第二问：确定 $\xi$ 的可能取值。因为从袋中取 3 个球，最大数字最小不能为 1（因为 1 最多只有 2 个球），故 $\xi$ 的可能取值为 2, 3, 4, 5。分别计算最大数字为 $k$ ($k=2,3,4,5$) 时的事件数。最大数字为 $k$ 意味着选出的 3 个球中至少有 1 个球标有 $k$，且其余的球标有的数字均小于 $k$。 第三问：计分为 $9\xi$。由 $20<9\xi <40⟹\frac{20}{9}<\xi <\frac{40}{9}$。因为 $\xi$ 为整数，所以 $\xi$ 只能取 3 或 4。将 $\xi =3$ 和 $\xi =4$ 的概率相加即可。

✅【答案】

Success

（1）总的取法数为C₁₀³=120.数字互不相同时，先从5个数字中选3个，再从每个数字的2个小球中各取1个，取法数为C3

✍【详细解析】

Abstract

解：袋中共有 $5\times 2=10$ 个球。从 10 个小球中任意取出 3 个，总的基本事件数为： $N=C_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$

(1) 设“取出的 3 个小球上的数字互不相同”为事件 $A$。 先从 5 种不同的数字中任意选出 3 种，共有 $C_5^3$ 种选法；对于选出的每一种数字，由于各有 2 个球，分别有 $C_2^1$ 种选法。 因此，数字互不相同的基本事件数为： $m=C_5^3\times (C_2^1{)}^3=10\times 8=80$ 所以，取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率为： $P(A)=\frac{m}{N}=\frac{80}{120}=\frac{2}{3}$

(2) 随机变量 $\xi$ 表示取出的 3 个小球上的最大数字， $\xi$ 的可能取值为 2, 3, 4, 5。

• 当 $\xi =2$ 时，意味着 3 个球中最大数字为 2。这 3 个球只能在标有数字 1 和 2 的 4 个球中选取，且必须包含 2。 可采用对立面法或直接分类：包含 2 个标有 2 的球和 1 个标有 1 的球（ $C_2^2{C}_2^1=2$ 种）；包含 1 个标有 2 的球和 2 个标有 1 的球（ $C_2^1{C}_2^2=2$ 种）。 事件数为 $2+2=4$ 种。 $P(\xi =2)=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$

• 当 $\xi =3$ 时，意味着 3 个球中最大数字为 3。这 3 个球必须包含标有 3 的球，且其余的球在标有数字 1 和 2 的 4 个球中选取。

• 包含 2 个标有 3 的球：从标有 1, 2 的 4 个球中任取 1 个，有 $C_2^2{C}_4^1=4$ 种；

• 包含 1 个标有 3 的球：从标有 1, 2 的 4 个球中任取 2 个，有 $C_2^1{C}_4^2=2\times 6=12$ 种。 事件数为 $4+12=16$ 种。 $P(\xi =3)=\frac{16}{120}=\frac{4}{30}$

• 当 $\xi =4$ 时，意味着 3 个球中最大数字为 4。这 3 个球必须包含标有 4 的球，且其余的球在标有数字 1, 2, 3 的 6 个球中选取。

• 包含 2 个标有 4 的球：从标有 1, 2, 3 的 6 个球中任取 1 个，有 $C_2^2{C}_6^1=6$ 种；

• 包含 1 个标有 4 的球：从标有 1, 2, 3 的 6 个球中任取 2 个，有 $C_2^1{C}_6^2=2\times 15=30$ 种。 事件数为 $6+30=36$ 种。 $P(\xi =4)=\frac{36}{120}=\frac{9}{30}$

• 当 $\xi =5$ 时，意味着 3 个球中最大数字为 5。这 3 个球必须包含标有 5 的球，且其余的球在标有数字 1, 2, 3, 4 的 8 个球中选取。

• 包含 2 个标有 5 的球：从标有 1, 2, 3, 4 的 8 个球中任取 1 个，有 $C_2^2{C}_8^1=8$ 种；
• 包含 1 个标有 5 的球：从标有 1, 2, 3, 4 的 8 个球中任取 2 个，有 $C_2^1{C}_8^2=2\times 28=56$ 种。 事件数为 $8+56=64$ 种。 $P(\xi =5)=\frac{64}{120}=\frac{16}{30}$

(校验概率和： $\frac{1+4+9+16}{30}=\frac{30}{30}=1$，结果无误)

因此，随机变量 $\xi$ 的概率分布列为：

$\xi$	2	3	4	5
$P$	$\frac{1}{30}$	$\frac{4}{30}$	$\frac{9}{30}$	$\frac{16}{30}$

数学期望为： $E\xi =2\times \frac{1}{30}+3\times \frac{4}{30}+4\times \frac{9}{30}+5\times \frac{16}{30}=\frac{2+12+36+80}{30}=\frac{130}{30}=\frac{13}{3}$

(3) 设“计分介于 20 分到 40 分之间”为事件 $B$。 由题意，计分规则为 $9\xi$，则有： $20<9\xi <40⟹\frac{20}{9}<\xi <\frac{40}{9}$ 由于 $\xi$ 只能取整数，故满足条件的 $\xi$ 取值为 3 或 4。 根据互斥事件的加法公式： $P(B)=P(\xi =3)+P(\xi =4)=\frac{4}{30}+\frac{9}{30}=\frac{13}{30}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：古典概型组合计数、极大值随机变量 $\xi$ 的判定、离散型分布列与期望定义式。
• 核心方法：最大值分类去重计数法。
• 避坑指南：
• 第二问计算最大值为 $k$ 的事件数时，极易粗心写成 $C_2^1{C}_{2k-2}^2$（误以为取了 $k$ 之后，其余球只要在小于 $k$ 的球里选就行了），这就漏掉了“选出 2 个标有 $k$ 的球”的情况。必须牢固树立按“恰有 1 个 $k$”和“恰有 2 个 $k$”分类的思路。
• 保持分母为 30 或 120 进行过程累加，可方便随时自检概率之和是否为 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查概率大题中经典的“最大值/最小值模型”。通过“各数字对应 2 个小球”这一微弱的代数改动，考查对古典概型分子分母组合数基数一致性的处理。 结论推广: 设有 $m$ 种数字，每种数字各 $k$ 个，从中任取 $n$ 个球，则最大数字为 $r$ 的基本事件总数恒满足通项公式： $C_{m\cdot k}^n-C_{(r-1)\cdot k}^n$ （即利用“所有球均在 $r$ 及以下中选”减去“所有球均在 $r-1$ 及以下中选”的对立思想）。本题若用此推广公式计算 $\xi =4$： $C_8^3-C_6^3=56-20=36$，与原分类结果完全相同，可极大提升做题效率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望
• 2007-大纲卷II理-18 解-超几何分布分布列
• 2008-广东卷理-17 解-分布列