本题导读
本题是一道空间综合几何压轴题。考查面面垂直性质的代数和几何应用。第一问需根据公垂线定义证明线线垂直；第二、三问通过引入等边三角形特征并建立标准空间直角坐标系，利用平面法向量精准计算点面距离与二面角大小。
📌【题干】
Question
（2006年山东卷(理)） 如图，已知平面 平行于三棱锥 的底面 ，等边 所在平面与底面 垂直，且 ，设 ，.
(1) 求证直线 是异面直线 与 的公垂线；
(2) 求点 到平面 的距离；
(3) 求二面角 的大小.
🔍【思路分析】
破题导航
第一问：由平面 平面 ，可知 ，且 。由于 ，推出 ，从而 。再利用面面垂直的性质定理，由平面 平面 ，且交线为 ， ，推出 平面 ，进而 平面 。以此完成公垂线证明。 第二、三问：由于 平面 ，且 。取 的中点 ，连接 。因为 是等边三角形，所以 。由此可得 底面 。以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 平行于 的射线为 轴建立空间直角坐标系。先利用 中平行截面比例性质确定顶点 的位置与坐标，再利用法向量求出点面距离和二面角。
✅【答案】
Success
(1) 见解析； (2) ； (3) 。
✍【详细解析】
Abstract
(1) 证明：因为平面 平面 ，且平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 。同理可得 。 因为 ，所以 。
又因为平面 平面 ，且平面 平面 。 因为 平面 ，且 ， 所以 平面 。 因为 ，所以 平面 。 因为 平面 ，所以 。 由于 同时垂直于异面直线 和 ，且其端点分别在两条直线上， 所以直线 是异面直线 与 的公垂线。
(2) 解：取 的中点为 ，连接 。 因为 是等边三角形，所以 。 由（1）知平面 平面 ，交线为 ，故 平面 。 以 为坐标原点，过 且平行于 的直线为 轴，射线 轴为 轴，射线 为 轴，建立空间直角坐标系 。
因为 ， 为边长为 的正三角形， 所以 ， 。 各点坐标确定如下： 由于 且 在 上， 在 上， 由 且 ，直线 的投影关系及 可知，点 的横坐标为 0 意味着 点必定在平面 上方对应的特定延长线上。由于平面 截三棱锥，且 落在侧棱 上，且其横、纵坐标均为 0，易知顶点 在 平面上的射影为 ，即 点在 轴上。 由 及比例关系，由 的 坐标为 0， 的 坐标为 ，由侧棱比例可推得 的坐标。因 为截面，由几何射影对应知 。
从而： 设平面 的法向量为 ，则： 令 ，得 。 又 ，点 到平面 的距离 为：
(3) 解：求二面角 的大小。 设平面 的法向量为 ，则： 令 。 得 。
计算平面 与平面 的法向量夹角余弦值： 由于二面角 为钝角， 所以二面角 的大小为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：线面垂直性质进行异面直线公垂线判定、三轴垂直空间直角坐标系的构建、法向量求点面距离与二面角。
- 核心方法：空间向量坐标法。
- 避坑指南：
- 第一问中必须严格写满两个条件：既要垂直于 ，又要垂直于 ，且指明端点在直线上，才符合“公垂线”的严密证明规范。
- 确定 点坐标时，需要仔细通过平行面截得的相似比例关系，推导出 是对应线段的外分点，从而锁定其高度为 。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题是立体几何大题中关于面面垂直与多面体量化计算的综合压轴题。通过平行切面 隐去顶点 的直接垂直射影位置，考查空间架构的还原能力。 结论推广: 对于任何通过平行于底面的截面建立的棱锥构型， 顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比，恒等于截面边缘线段长与底面对应边缘线段长的代数比值。
🔗【关联脉络】
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