2006-山东卷理-17 解-三角函数周期性求和

本题导读

本题考查利用三角恒等变换中的降幂公式化简函数解析式，并通过周期与对称性性质确定未知参数，最后利用函数的周期性解决高阶多项求和问题。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 已知函数 $f(x)=A{\sin }^2(\omega x+\phi )$ $\left(A>0,\omega >0,0<\phi <\frac{\pi }{2}\right)$，且 $y=f(x)$ 的最大值为 2，其图象相邻两对称轴间的距离为 2，并过点 $(1,2)$.

(1) 求 $\phi$；

(2) 计算 $f(1)+f(2)+\cdots +f(2008)$.

🔍【思路分析】

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第一问：利用余弦二倍角降幂公式 ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$ 将 $f(x)$ 变形为标准余弦型复合函数形式。由最大值为 2 以及相邻对称轴距离（即半周期）为 2，确定参数 $A$ 和 $\omega$。最后代入定点 $(1,2)$ 并结合 $\phi$ 的范围求解。 第二问：将第一问求得的完整解析式代入，分析函数 $f(x)$ 对应的离散自变量周期。将 2008 个求和项按照周期进行合理分组，利用每组内项加和为固定常数的性质快速求出总和。

✅【答案】

Success

（1）因为sin2的最大值为1，所以A=2.函数sin2t的相邻对称轴对应的自变量

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 利用三角函数降幂公式对 $f(x)$ 的解析式进行恒等变形： $f(x)=A\cdot \frac{1-\cos (2\omega x+2\phi )}{2}=\frac{A}{2}-\frac{A}{2}\cos (2\omega x+2\phi )$ 因为 $A>0$，所以当 $\cos (2\omega x+2\phi )=-1$ 时， $f(x)$ 取得最大值，最大值为： $f(x{)}_{\text{max}}=\frac{A}{2}-\frac{A}{2}(-1)=A$ 已知最大值为 2，故： $A=2$ 此时解析式为 $f(x)=1-\cos (2\omega x+2\phi )$。

因为余弦型函数 $y=\cos (2\omega x+2\phi )$ 的图象相邻两对称轴间的距离为半周期 $\frac{T}{2}$， 由题意得： $\frac{T}{2}=2⟹T=4$ 根据周期计算公式 $T=\frac{2\pi }{|2\omega |}$，由于 $\omega >0$： $\frac{2\pi }{2\omega }=4⟹\frac{\pi }{\omega }=4⟹\omega =\frac{\pi }{4}$ 从而得到函数解析式为： $f(x)=1-\cos \left(\frac{\pi }{2}x+2\phi \right)$

将已知点 $(1,2)$ 代入该解析式中： $2=1-\cos \left(\frac{\pi }{2}\times 1+2\phi \right)⟹\cos \left(\frac{\pi }{2}+2\phi \right)=-1$ 根据余弦函数的零点分布，可得： $\frac{\pi }{2}+2\phi =\pi +2k\pi ⟹2\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi ⟹\phi =\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 因为已知 $0<\phi <\frac{\pi }{2}$，取 $k=0$ 满足条件，解得： $\phi =\frac{\pi }{4}$

(2) 将 $\phi =\frac{\pi }{4}$ 代回，得到函数的完整解析式为： $f(x)=1-\cos \left(\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{2}\right)$ 利用诱导公式 $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \theta$ 化简得： $f(x)=1-(-\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right))=1+\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)$

分析正弦型复合函数的周期，其最小正周期为： $T_0=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{2}}=4$ 因此，数列 $\{f(n)\}$ 是一个以 4 为周期的周期性数列。 依次计算一个完整周期内的 4 个核心离散单项值：

• $f(1)=1+\sin \frac{\pi }{2}=1+1=2$
• $f(2)=1+\sin \pi =1+0=1$
• $f(3)=1+\sin \frac{3\pi }{2}=1-1=0$
• $f(4)=1+\sin 2\pi =1+0=1$

计算一个完整周期内各项的总和： $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4$

目标求和式共有 2008 项。因为 $2008÷4=502$，说明总项数恰好可以完整地划分为 502 个完整的周期分组，且没有余项。 所以，总和为： ${\sum }_{n=1}^{2008}f(n)=502\times [f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=502\times 4=2008$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：余弦二倍角降幂公式、正余弦型复合函数周期与对称轴的关系（相邻对称轴间距为半周期）、离散自变量三角序列的分组求和特征。
• 核心方法：降幂合并法、周期归纳求和法。
• 避坑指南：
• 第一问中将 ${\sin }^2\theta$ 展开时，注意角度要成倍变为 $2\omega x+2\phi$，极其容易在后续代入定点时漏掉 $\phi$ 前面的系数 2。
• 第二问中确定周期为 4 后，必须准确算出前 4 项各自的数值并求和，不要盲目套用对称性猜测单组和为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查三角函数综合性质的大题。通过引入平方项的复合形态，考查对二倍角转化工具的控制以及应对高阶大容量求和式的化简逻辑。 结论推广: 对于任何形如 $f(x)=a+b\sin (\omega x+\varphi )$ 的离散求和问题，若其最小正周期为 $T$，当总项数 $N$ 满足 $N=k\cdot T$ ($k\in \mathbf{Z}$) 时，总和恒等于 $N\cdot a$。本题中经过化简中心项 $a=1$，总项数 $N=2008$，故其总和直接对应 $2008\times 1=2008$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-17 解-三角降幂周期最值
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值
• 2014-重庆卷理-17 解-三角函数的周期性