2006-山东卷理-16 填-命题真假的判断

本题导读

本题考查函数图象平移、圆的弦长、三角恒等变形与圆锥曲线轨迹四类知识的综合判断。核心在于对四个命题逐一严格验证，抓住每个命题中易被忽略的细节（平移方向、直线是否过圆心、差角公式的应用、抛物线定义），才能准确锁定真命题。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 下列四个命题中，真命题的序号有 $\underline{}$。（写出所有真命题的序号）

① 将函数 $y=|x+1|$ 的图象按向量 $v=(-1,0)$ 平移，得到的图象对应的函数表达式为 $y=|x|$；

② 圆 $x^2+y^2+4x+2y+1=0$ 与直线 $y=\frac{1}{2}x$ 相交，所得弦长为 $2$；

③ 若 $\sin (\alpha +\beta )=\frac{1}{2}$，$\sin (\alpha -\beta )=\frac{1}{3}$，则 $\tan \alpha \cot \beta =5$；

④ 如图，已知正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，$P$ 为底面 $ABCD$ 内一动点，$P$ 到平面 $A{A}_1{D}_{1}D$ 的距离与到直线 $C{C}_1$ 的距离相等，则 $P$ 点的轨迹是抛物线的一部分.

🔍【思路分析】

破题导航

逐一验证，抓住细节：四个命题分属四个不同知识板块，彼此独立，需逐个严格判定。 命题①验平移：按向量 $v=(-1,0)$ 平移是”左移还是右移”易错点，必须严格按”点坐标变换”写出新函数。 命题②验弦长：先配方得圆心、半径，再看圆心是否落在直线上——若直线过圆心，弦长即直径。 命题③验恒等：由和差公式先得 $2\sin \alpha \cos \beta$ 与 $2\cos \alpha \sin \beta$，再作比求 $\tan \alpha \cot \beta$。 命题④验轨迹：设 $P(x,y)$，分别写出两段距离，令其相等化简，观察是否为抛物线型方程。

✅【答案】

Success

③④

✍【详细解析】

Abstract

命题①（假） 设平移前图象上任一点为 $(u,|u+1|)$，按向量 $v=(-1,0)$ 平移后得 $(u-1,|u+1|)$。令 $x=u-1$，则 $u=x+1$，新函数为 $y=|x+1+1|=|x+2|$，并非 $y=|x|$。故命题①为假。

命题②（假） 将圆配方：$x^2+y^2+4x+2y+1=0$ 化为 $(x+2{)}^2+(y+1{)}^2=4$，圆心为 $(-2,-1)$，半径 $r=2$。圆心坐标代入直线 $y=\frac{1}{2}x$：$y=-1$，而 $\frac{1}{2}\cdot (-2)=-1$，即圆心落在直线上，故直线过圆心，所得弦长为直径 $2r=4$，不是 $2$。故命题②为假。

命题③（真） 由两角和与差的正弦公式： $2\sin \alpha \cos \beta =\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$ $2\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ 两式相除： $\tan \alpha \cot \beta =\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \sin \beta }=\frac{\frac{5}{12}}{\frac{1}{12}}=5$ 故命题③为真。

命题④（真） 设正方体棱长为 $a$，以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$ 方向分别为 $x$、$y$ 轴正方向建系，令 $P=(x,y)$（$0\le x\le a$，$0\le y\le a$）。 点 $P$ 到平面 $A{A}_1{D}_{1}D$（即 $yOz$ 平面）的距离为 $x$； 点 $P$ 到直线 $C{C}_1$ 的距离为 $\sqrt{(x-a{)}^2+(y-a{)}^2}$。 两距离相等，得： $x^2=(x-a{)}^2+(y-a{)}^2⟺(y-a{)}^2=2ax-a^2$ 这是顶点在 $(\frac{a}{2},a)$、开口向右的抛物线方程，故 $P$ 的轨迹是抛物线的一部分，命题④为真。

综上，真命题的序号为 ③④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数图象平移的方向判断、直线过圆心时弦长为直径、和差角公式作比求正切余切之比、抛物线定义下的轨迹方程。
• 核心方法：逐命题独立判定。
• 避坑指南：
• 命题①平移方向最易错：按向量 $v=(-1,0)$ 平移是向左平移，自变量应”加 1”而非”减 1”。
• 命题②要先验证直线是否过圆心，若过圆心直接得直径，避免套用弦长公式做无谓计算。
• 命题③两式相减时注意 $\sin (\alpha -\beta )$ 前是”减号”，符号搞反会导致 $\tan \alpha \cot \beta$ 算错。
• 命题④距离”到平面”与”到直线”的坐标表达要分清，到平面的距离只取一个坐标分量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题以”多选判断”形式综合考查函数、圆、三角、圆锥曲线四板块的基础知识，属于对基础概念与定义把握度的集中检验。 结论推广: 图象按向量 $v=(m,n)$ 平移，原函数 $y=f(x)$ 变为 $y-n=f(x-m)$，即”右移 $m$、上移 $n$“对应自变量减、函数值加，方向判断可用此通式直接代入验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 17.05 直线与圆的位置关系
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2007-四川文-16 填-五命题真假判断
• 2009-江苏卷-12 填-空间命题真假
• 2008-陕西文-15 填-向量命题真伪