2006-山东卷理-12 单-空间位置关系

本题导读

本题是一道构思精巧、空间想象力要求极高的几何压轴题。考查在平面梯形沿中中位线折起后，判定新立体图形（三棱锥）的严格空间构型，并精准求解其外接球的半径与体积。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 如图，在等腰梯形 $ABCD$ 中， $AB=2DC=2$， $\angle DAB=60^{\circ }$， $E$ 为 $AB$ 的中点，将 $△ADE$ 与 $△BEC$ 分别沿 $ED$、 $EC$ 向上折起，使 $A、B$ 重合于点 $P$，则三棱锥 $P-DCE$ 的外接球的体积为() ()

A. $\frac{4\sqrt{3}\pi }{27}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{6}\pi }{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{6}\pi }{8}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{6}\pi }{24}$

🔍【思路分析】

破题导航

分析翻折前的平面几何特征：已知 $AB=2,DC=1$。因为 $E$ 是 $AB$ 的中点，所以 $AE=EB=1$。由于 $DC\parallel AB$ 且 $DC=1$，易知四边形 $AECD$ 和 $BCDE$ 均为平行四边形。结合等腰梯形 $\angle DAB=60^{\circ }$ 且邻边 $AE=1,AD=1$，可得 $△ADE$ 和 $△BEC$、 $△DCE$ 全都是边长为 1 的正三角形。 分析翻折后的立体几何特征：将左右两翼向上折起后， $A,B$ 重合于点 $P$。此时侧棱 $PD=AD=1$， $PC=BC=1$， $PE=AE=1$。基底三边 $DE=1,EC=1,CD=1$。这说明翻折后形成的三棱锥 $P-DCE$ 是一个所有棱长全部相等的正四面体（棱长均为 1）。 求解正四面体外接球半径：对于棱长为 $L$ 的标准正四面体，其高 $H=\frac{\sqrt{6}}{3}L$，外接球半径 $R=\frac{\sqrt{6}}{4}L$。直接代入 $L=1$ 算出 $R$，最后套用球体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 求解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：首先分析翻折前的等腰梯形 $ABCD$。 由已知 $AB=2$， $E$ 为 $AB$ 的中点，得： $AE=EB=1$ 又因为 $DC=\frac{1}{2}AB=1$，且 $DC\parallel AB$， 所以四边形 $AECD$ 是平行四边形 $⟹DE=AC$ 且 $DE=BC$。 在等腰梯形 $ABCD$ 中，因为 $\angle DAB=60^{\circ }$，且腰长 $AD=BC$。由等腰梯形几何性质算得腰长 $AD=1$。 由此在平行四边形 $AECD$ 中，邻边 $AD=1,AE=1$，且夹角为 $60^{\circ }$。 由此可确定 $△ADE$ 是边长为 1 的正三角形，其三边均为 1，即 $DE=1$。 同理， $△BEC$ 也是边长为 1 的正三角形 $⟹EC=1$。 而四边形 $BCDE$ 是等边长平行四边形（菱形），故对边 $CD=BE=1$。 由此可知，底面 $△DCE$ 的三边长满足： $DC=CE=ED=1$ 即底面是一个边长为 1 的正三角形。

当沿 $ED$ 和 $EC$ 向上翻折且使 $A,B$ 两点重合于点 $P$ 时：

• 侧棱 $PD$ 的长度等于原线段 $AD$，故 $PD=1$；
• 侧棱 $PC$ 的长度等于原线段 $BC$，故 $PC=1$；
• 侧棱 $PE$ 的长度等于原线段 $AE$，故 $PE=1$。

结合底面三边长均为 1，可知翻折后构筑的三棱锥 $P-DCE$ 的 6 条棱长全部相等，均为 1。 因此，三棱锥 $P-DCE$ 是一个棱长为 1 的标准正四面体。

根据正四面体的几何球体对称公式，棱长为 $L$ 的正四面体，其外接球的半径 $R$ 满足通式： $R=\frac{\sqrt{6}}{4}L$ 将本题中的棱长 $L=1$ 代入，可得外接球半径为： $R=\frac{\sqrt{6}}{4}$

根据球的体积计算公式，该外接球的体积 $V$ 为： $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)}^3$ 计算三次幂项： ${\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)}^3=\frac{6\sqrt{6}}{64}=\frac{3\sqrt{6}}{32}$ 代回体积公式中进行约分消元： $V=\frac{4}{3}\pi \times \frac{3\sqrt{6}}{32}=\frac{4\times 3\times \sqrt{6}}{3\times 32}\pi =\frac{\sqrt{6}}{8}\pi$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等腰梯形割补为三个正三角形的代数规律、空间折叠后图形构型的识别、正四面体核心外接球半径公式。
• 核心方法：公式直接代入秒杀法、正四面体特值推导法。
• 避坑指南：
• 很多考生在翻折后，由于缺乏空间想象力，容易把底面 $△DCE$ 误当成普通的等腰三角形，从而花费大量时间去用传统的三弦高定理推导球心位置。
• 务必敏锐捕获翻折后“所有边长全相等”这一极其特殊的隐藏红利，直接锁定其为正四面体。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是立体几何中关于平面图形翻折与多面体外接球体积考查的绝对压轴选择题。这类折纸模型是历年高考命题在多维空间变换领域的必考压轴题构型。 结论推广: 对于任意棱长为 $L$ 的标准正四面体， 其四个核心几何球体参数及高度公式如下（建议熟记，在高考中可直接作为定理使用）：

• 正四面体的高： $H=\frac{\sqrt{6}}{3}L$
• 内切球半径： $r=\frac{\sqrt{6}}{12}L$
• 外接球半径： $R=\frac{\sqrt{6}}{4}L$ （且满足关系式 $H=R+r$ 且 $R=3r$）

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-09 单-外接球与球面距离
• 2011-重庆卷文-10 单-四棱锥外接球
• 2012-北京卷(理)-07 单-外接球