2006-山东卷理-09 单-集合元素的选取与去重

本题导读

本题考查排列组合中的计数原理，同时交汇了空间直角坐标系中点坐标的确定。核心在于分清坐标轴位置的选择，并细致处理由于三个集合之间存在相同元素而导致的坐标重合去重问题。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 已知集合 $A=\{5\}$，$B=\{1,2\}$，$C=\{1,3,4\}$，从这三个集合各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()

A. 33　　　　　　　B. 34　　　　　　　C. 35　　　　　　　D. 36

🔍【思路分析】

破题导航

基本计数（若无重复元素）：从 $A,B,C$ 中各取一个元素分别有 $1,2,3$ 种选法。将这三个数排列到 $x,y,z$ 三个坐标轴位置上，共有 $A_3^3=6$ 种排法。因此总点数表面上为 $1\times 2\times 3\times 6=36$ 个。 排查重复情况：由于集合 $B$ 和集合 $C$ 中都含有元素 1，当从 $B$ 中选出 1 且从 $C$ 中也选出 1 时，选出的三个数变成了 $\{5,1,1\}$（其中 1 重复）。 当三个数中有两个数相同时，在排列到 $x,y,z$ 轴上时会产生由于数字完全对调而导致的坐标点重复，需利用全排列去重公式精细扣除。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：从三个集合中各取一个元素，可能的数字组合情况可根据是否包含重复数字分为两类：

• 第一类：从 $B$ 和 $C$ 中同时选到元素 1 此时从 $A$ 中只能选 5，从 $B$ 中选 1，从 $C$ 中选 1。 选出的三个数字组合为： $\{5,1,1\}$。 将这三个数字安排在空间直角坐标系中点的 $x,y,z$ 轴位置上，由于包含两个相同的数字 1，其不同的坐标排列个数为： $N_1=\frac{A_3^3}{A_2^2}=\frac{6}{2}=3\text{ 个}$ （具体点为： $(5,1,1)$, $(1,5,1)$, $(1,1,5)$）

• 第二类：从 $B$ 和 $C$ 中不同时选到元素 1 从 $B$ 中可选 1 或 2（共 2 种），从 $C$ 中可选 1, 3, 4（共 3 种）。除去同时选 1 的 1 种情况，数字的独立选择组合共有 $2\times 3-1=5$ 种。 这 5 种数字组合具体为：

1. 选自 $B$ 的 1，选自 $C$ 的 3 $\to \{5,1,3\}$
2. 选自 $B$ 的 1，选自 $C$ 的 4 $\to \{5,1,4\}$
3. 选自 $B$ 的 2，选自 $C$ 的 1 $\to \{5,2,1\}$
4. 选自 $B$ 的 2，选自 $C$ 的 3 $\to \{5,2,3\}$
5. 选自 $B$ 的 2，选自 $C$ 的 4 $\to \{5,2,4\}$ 可以发现，这 5 种组合中的三个数字均互不相同。 对于每一种由三个互异数字组成的组合，安排到 $x,y,z$ 轴上的不同排列个数均为 $A_3^3=6$ 种。 由于各组合间数字不完全相同，排列出来的点也绝不重复，故此类情况确定的不同点个数为： $N_2=5\times A_3^3=5\times 6=30\text{ 个}$

综合以上两类互斥情况，确定空间中不同点的总个数为： $N=N_1+N_2=3+30=33\text{ 个}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：乘法计数原理与分类加法计数原理、相同元素的排列去重规律（不尽相异元素全排列）。
• 核心方法：元素特征分类讨论法。
• 避坑指南：
• 最易错的是直接用 $1\times 2\times 3\times A_3^3=36$ 得出答案 D。这种算法忽视了当 $B,C$ 同时贡献 1 时， $(5,1_B,1_C)$ 与 $(5,1_C,1_B)$ 对应的是同一个空间坐标点 $(5,1,1)$。
• 务必通过对“选出数字是否相同”进行严格的分类，再分别计算排列数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查排列组合高级计数原理的压轴选择题。通过引入空间直角坐标系这一载体，精妙地将集合交集（重复元素 1）转化为排列中的同数不尽相异排列问题。 结论推广: 若从三个集合中各取一数构成三维坐标，若选出的三个数中包含 $k$ 个相同数字，则该特定组合贡献的空间互异点数恒为 $\frac{3!}{k!}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 21.01 空间向量及其运算
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-12 单-排列组合路径计数
• 2007-湖北卷理-10 单-排列组合数论综合
• 2008-大纲卷I理-12 单-排列组合