2006-山东卷理-05 单-封闭多边形的向量首尾相接性质

本题导读

本题考查平面向量的坐标线性运算以及首尾相接构成封闭多边形的向量代数特征。核心在于利用“若干有向线段首尾相接构成封闭多边形时，其向量和为零向量”这一底层几何恒等式。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 设向量 $\vec{a}=(1,-2)$， $\vec{b}=(-2,4)$， $\vec{c}=(-1,-2)$，若表示向量 $4\vec{a}$， $4\vec{b}-2\vec{c}$， $2(\vec{a}-\vec{c})$， $\vec{d}$ 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 $\vec{d}$ 为()

A. $(2,6)$　　　B. $(-2,6)$　　　C. $(2,-6)$　　　D. $(-2,-6)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把几何条件代数化：四个向量对应的有向线段首尾相接围成四边形，等价于这四个向量的和为零向量。
2. 逐个算出已知向量：$4\vec{a}$ 直接数乘；$4\vec{b}-2\vec{c}$ 先分别算出 $4\vec{b}$、$2\vec{c}$ 再相减；$2(\vec{a}-\vec{c})$ 先作差再数乘。
3. 用「和为零」反解：$\vec{d}$ 等于前三个向量之和的相反向量，算完再与选项比对。

✅【答案】

Success

$\vec{d}=(-2,-12)$

（原卷所给四个选项 $(\pm 2,\pm 6)$ 均与此结果不符，属原卷数据有误，详见解析。）

✍【详细解析】

Abstract

四个向量对应的有向线段首尾相接围成四边形，等价于它们之和为零向量，即 $4\vec{a}+(4\vec{b}-2\vec{c})+2(\vec{a}-\vec{c})+\vec{d}=\vec{0}$

逐个计算已知向量

$4\vec{a}=4(1,-2)=(4,-8)$ $4\vec{b}=4(-2,4)=(-8,16),2\vec{c}=2(-1,-2)=(-2,-4)$ $4\vec{b}-2\vec{c}=(-8+2,16+4)=(-6,20)$ $\vec{a}-\vec{c}=(1+1,-2+2)=(2,0)⟹2(\vec{a}-\vec{c})=(4,0)$

求和并反解 $\vec{d}$

$4\vec{a}+(4\vec{b}-2\vec{c})+2(\vec{a}-\vec{c})=(4-6+4,-8+20+0)=(2,12)$ 于是 $\vec{d}=-(2,12)=(-2,-12)$

关于选项的说明

原卷四个选项 $(2,6)$、$(-2,6)$、$(2,-6)$、$(-2,-6)$ 的纵坐标绝对值都是 6，而按题面数据算出的纵坐标是 $-12$，四个选项没有一个是正确的。横坐标倒是对得上（和为 $2$，故 $\vec{d}$ 的横坐标为 $-2$），只差在纵坐标上，说明原卷某一个向量的纵坐标存在印刷之误，但究竟是哪一个，仅凭题面无法唯一判定。

考场上遇到这类题，最稳妥的自查办法是把每个选项代回「四向量和为零」验证一遍——本题四个选项都通不过，说明题面数据有误，而不是自己算错。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：首尾相接多边形向量和定理、平面向量坐标加减法则。
• 核心方法：坐标分量独立合并法。
• 避坑指南：计算过程中极易在处理如 $4\vec{b}-2\vec{c}$ 的纵坐标时，由于负负得正（$16-(-4)=20$）出错，务必在草稿纸上分步写清。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查向量的几何封闭性，将初等平面几何的“封闭多边形”直接翻译为向量代数中的“零向量方程”，属于高考对向量工具性的基础考查。 结论推广: 任意 $n$ 边形中，若各边有向线段按顺时针或逆时针方向一致首尾相接，其 $n$ 个边向量的代数和恒为零向量 $\vec{0}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-04 单-向量中点特征恒等式
• 2007-大纲Ⅱ文-06 单-向量定比分点