2006-山东卷理-03 单-对数不等式的解法

本题导读

本题考查分段函数不等式的解法，核心在于分类讨论，在不同的自变量区间内分别求解对应的不等式，最后求各段解集的并集。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 设 $f(x)=\{\begin{array}{l}2{\text{e}}^{x-1},x<2\\ {\log }_3(x^2-1),x\ge 2\end{array}$，则不等式 $f(x)>2$ 的解集为()

A. $(1,2)\cup (3,+\infty )$　B. $(\sqrt{10},+\infty )$　C. $(1,2)\cup (\sqrt{10},+\infty )$　D. $(1,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

当 $x<2$ 时，代入第一段解析式得到指数不等式 $2{\text{e}}^{x-1}>2$，求出其解集并与 $x<2$ 取交集。 当 $x\ge 2$ 时，代入第二段解析式得到对数不等式 ${\log }_3(x^2-1)>2$，求出其解集并与 $x\ge 2$ 取交集。 将上述两段得到的解集求并集，即为最终结果。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：分区间对不等式 $f(x)>2$ 进行讨论：

• 第一种情况：当 $x<2$ 时，有： $2{\text{e}}^{x-1}>2⟹{\text{e}}^{x-1}>1⟹{\text{e}}^{x-1}>{\text{e}}^0$ 因为底数 $\text{e}>1$，指数函数单调递增，故： $x-1>0⟹x>1$ 结合前提条件 $x<2$，此时的解集为： $x\in (1,2)$

• 第二种情况：当 $x\ge 2$ 时，有： ${\log }_3(x^2-1)>2⟹{\log }_3(x^2-1)>{\log }_3{3}^2⟹{\log }_3(x^2-1)>{\log }_{3}9$ 因为底数 $3>1$，对数函数单调递增，故： $x^2-1>9⟹x^2>10$ 解得 $x>\sqrt{10}$ 或 $x<-\sqrt{10}$。 结合前提条件 $x\ge 2$，由于 $\sqrt{10}\approx 3.16>2$，取交集后所得解集为： $x\in (\sqrt{10},+\infty )$

综合上述两种情况，原不等式的解集为两段解集的并集： $x\in (1,2)\cup (\sqrt{10},+\infty )$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数不等式的区间约束判定、指数与对数不等式的基本性质。
• 核心方法：分类讨论法。
• 避坑指南：求出每段不等式的解后，务必与该段自身的自变量限制条件（如 $x<2$ 或 $x\ge 2$）求交集，切勿直接将 $x>\sqrt{10}$ 或 $x<-\sqrt{10}$ 强行作为整段的最终答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查分段函数以及初等基本初等函数不等式解法的典型常规题，侧重于考查运算的严密性与区间划分逻辑。 结论推广: 针对分段函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}{f}_1(x),x\in I_1\\ f_2(x),x\in I_2\end{array}$，不等式 $f(x)>k$ 的解集恒为 $\{x\in I_1\mid f_1(x)>k\}\cup \{x\in I_2\mid f_2(x)>k\}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-安徽卷理-05 单-绝对值对数不等式求解
• 2007-山东文-02 单-集合交集与指数不等式
• 2007-广东文-01 单-集合交集与分式不等式