2006-山东卷理-02 单-图象对称性

本题导读

本题考查含参指数函数的反函数图象识别。核心在于通过反解解析式或者利用原函数与反函数关于直线 $y=x$ 对称的几何性质进行区间和定点判定。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(理)） 函数 $y=1+a^x$ ($0<a<1$) 的反函数的图象大致是()

🔍【思路分析】

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方法一（解析式法）：由 $y=1+a^x$ 反解出 $x$。移项得 $a^x=y-1$，从而 $x={\log }_a(y-1)$。互换字母得反函数为 $y={\log }_a(x-1)$。根据对数函数性质，其定义域为 $x>1$，底数 $0<a<1$ 决定其在定义域内单调递减，渐近线为 $x=1$，且必过定点 $(2,0)$。 方法二（对称排除法）：原函数 $y=1+a^x$ ($0<a<1$) 的定义域为 $\mathbf{R}$，值域为 $(1,+\infty )$。其必过定点 $(0,2)$。由于反函数与原函数关于直线 $y=x$ 对称，故反函数的定义域必须为 $(1,+\infty )$，且必过定点 $(2,0)$，据此排除不符选项。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：方法一：求解析式判定法 已知原函数为： $y=1+a^x(0<a<1)$ 移项得： $a^x=y-1$ 由于 $0<a<1$，利用指数与对数的互逆关系反解自变量 $x$： $x={\log }_a(y-1)$ 将 $x,y$ 字母互换，得到反函数的解析式为： $y={\log }_a(x-1)$

分析该反函数的图象特征：

1. 定义域与渐近线：由真数大于 0 得 $x-1>0⟹x>1$，说明图象完全位于直线 $x=1$ 的右侧，直线 $x=1$（垂直虚线）为该反函数的渐近线。由此排除 B、D。
2. 单调性：因为底数 $0<a<1$，对数函数 $y={\log }_{a}t$ 在定义域内为减函数，故 $y={\log }_a(x-1)$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递减。由此排除 C。
3. 特征点：令 $y=0⟹x-1=a^0=1⟹x=2$，即图象必过定点 $(2,0)$。

结合上述所有特征，只有 A 选项的图象符合。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：反函数的解析式推导、对数复合函数的平移图象特征（$y={\log }_a(x-1)$ 为 $y={\log }_{a}x$ 向右平移 1 个单位）。
• 核心方法：解析式特征分析法、特殊定点排除法。
• 避坑指南：
• 容易混淆对数函数底数 $0<a<1$ 时的单调性，误以为指数函数带了加 1 之后单调性会翻转，需牢记底数小于 1 时对数型函数始终保持递减。
• 注意识别垂直渐近线的位置，由于向右平移了 1 个单位，渐近线由 $x=0$（y轴）变为了 $x=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查函数与反函数几何及代数特征的经典基础题。主要考查考生对指数、对数图象间互逆变换和空间平移规律的综合控制。 结论推广: 函数 $y=b+a^x$ ($a>0,a\ne 1$) 的反函数恒为 $y={\log }_a(x-b)$。其图象具有如下严格的几何规律：原函数的水平渐近线 $y=b$ 在反函数中对应转化为垂直渐近线 $x=b$；原函数的 y 轴截距定点 $(0,b+1)$ 在反函数中对应转化为 x 轴截距定点 $(b+1,0)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-09 单-反函数图象对称性
• 2007-辽宁卷理-02 单-函数反函数图象对称性
• 2007-安徽卷理-01 单-函数图象对称性