2006-山东文-21 解-椭圆面积最值

本题导读

本题考查椭圆的方程。核心在于几何条件定方程加导数求最值。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 已知椭圆的中心在坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为 $4$。 （1）求椭圆的方程； （2）直线 $l$ 过点 $P(0,2)$ 且与椭圆相交于 $A$、$B$ 两点，当 $△AOB$ 面积取得最大值时，求直线 $l$ 的方程。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 短轴端点与焦点构成正方形 $\Rightarrow b=c$，$a^2=2b^2$；两准线距 $2\cdot \frac{a^2}{c}=4\Rightarrow 2b=2$，$b=c=1$，$a^2=2$，方程 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$。
2. 直线 $y=kx+2$ 代入：$\left(k^2+\frac{1}{2}\right)x^2+4kx+3=0$，判别式 $4k^2-6⩾0$。
3. $S=|x_1-x_2|$，$S^2=\frac{4u-6}{{\left(u+\frac{1}{2}\right)}^2}$（$u=k^2⩾\frac{3}{2}$）；求导 ${\left(S^2\right)}^{\prime }=\frac{14-4u}{{\left(u+\frac{1}{2}\right)}^3}$，在 $u=\frac{7}{2}$ 最大，$k=\pm \frac{\sqrt{14}}{2}$。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{x^2}{2}+y^2=1$

(2)$y=2+\frac{\sqrt{14}}{2}x$ 或 $y=2-\frac{\sqrt{14}}{2}x$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a>b>0$，焦点为 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$，且 $c^2=a^2-b^2$。 短轴端点为 $(0,b)$、$(0,-b)$。这两个点与两个焦点组成正方形，其两条对角线分别在坐标轴上， 因此两条对角线相等，得 $b=c$。于是 $a^2=2b^2$。 椭圆的两条准线为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$，两准线间的距离为 $2\times \frac{a^2}{c}=4$。 结合 $c=b$ 和 $a^2=2b^2$，得 $2b=2$，所以 $b=c=1$，$a^2=2$。 因而椭圆方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$。

（2）设直线 $l$ 的斜率为 $k$，则其方程为 $y=kx+2$。 将其代入椭圆方程，得 $\left(k^2+\frac{1}{2}\right)x^2+4kx+3=0$。 设交点 $A$、$B$ 的横坐标分别为 $x_1$、$x_2$。对非竖直直线，因直线与椭圆有两个交点，须有 $4k^2-6⩾0$。 交点三角形的面积为 $S_{△AOB}=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|=\frac{1}{2}|x_1(k{x}_2+2)-x_2(k{x}_1+2)|=|x_1-x_2|$。 由一元二次方程根的差，得 $S_{△AOB}=\frac{\sqrt{4k^2-6}}{k^2+\frac{1}{2}}$。 令 $u=k^2$，则 $u⩾\frac{3}{2}$，且 $S_{△AOB}^2=\frac{4u-6}{{\left(u+\frac{1}{2}\right)}^2}$。 对上式求导，得 ${\left(S_{△AOB}^2\right)}^{\prime }=\frac{14-4u}{{\left(u+\frac{1}{2}\right)}^3}$。 因而当 $u<\frac{7}{2}$ 时该式为正，当 $u>\frac{7}{2}$ 时该式为负，面积在 $u=\frac{7}{2}$ 时取得最大值。 所以 $k=\pm \sqrt{\frac{7}{2}}=\pm \frac{\sqrt{14}}{2}$。 竖直直线 $x=0$ 与椭圆的两个交点和原点共线，三角形面积为 $0$，不是最大值。 故所求直线为 $y=2+\frac{\sqrt{14}}{2}x$ 或 $y=2-\frac{\sqrt{14}}{2}x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆面积最值

核心方法：几何条件定方程加导数求最值

避坑指南：$b=c$、$\frac{2a^2}{c}=4\Rightarrow x^2+y^2$ 型：$b=c=1,a^2=2$；$S^2=\frac{4u-6}{(u+\frac{1}{2}{)}^2}$（$u=k^2⩾\frac{3}{2}$）求导在 $u=\frac{7}{2}$ 最大，$k=\pm \frac{\sqrt{14}}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自椭圆几何条件与面积最值，解析几何压轴题

结论推广: 正方形条件定 $b=c$、导数求 $S^2$ 最值推广到一切面积型

方法推广: $S^2$ 换元后用导数比判别式更快

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-22 解-椭圆直线交点与面积最值
• 2008-北京文-19 解-椭圆直线直角最大斜边