2006-山东文-19 解-卡片古典概型

本题导读

本题考查古典概型。核心在于组合计数分问求概率。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 盒中装有标有数字 $1$，$2$，$3$，$4$ 的卡片各 $2$ 张，从盒中任意抽取 $3$ 张，每张卡片被取出的可能性都相等，求： （1）抽出的 $3$ 张卡片上最大的数字是 $4$ 的概率； （2）抽出的 $3$ 张中有 $2$ 张卡片上的数字是 $3$ 的概率； （3）抽出的 $3$ 张卡片上的数字互不相同的概率。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总数 ${\mathrm{C}}_8^3=56$。
2. (1) 对立”最大数字不是 $4$“：从 $1,2,3$ 的 $6$ 张中取，$1-\frac{{\mathrm{C}}_6^3}{{\mathrm{C}}_8^3}=1-\frac{20}{56}=\frac{9}{14}$。
3. (2) 两张 $3$ 全取再从其余 $6$ 张取 $1$ 张：$\frac{{\mathrm{C}}_2^2{\mathrm{C}}_6^1}{56}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$。
4. (3) 先选 $3$ 个数字再各取一张：$\frac{{\mathrm{C}}_4^3\cdot 2^3}{56}=\frac{32}{56}=\frac{4}{7}$。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{9}{14}$

(2)$\frac{3}{28}$

(3)$\frac{4}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）从 $8$ 张卡片中任取 $3$ 张，共有 ${\mathrm{C}}_8^3=56$ 种等可能结果。 抽出的卡片上最大的数字不是 $4$ 时，只能从标有 $1$、$2$、$3$ 的 $6$ 张卡片中抽取， 故所求概率为 $1-\frac{{\mathrm{C}}_6^3}{{\mathrm{C}}_8^3}=1-\frac{20}{56}=\frac{9}{14}$。

（2）要使抽出的 $3$ 张卡片中有 $2$ 张数字为 $3$，必须抽出标有数字 $3$ 的两张卡片， 再从其余 $6$ 张卡片中抽出一张，共有 ${\mathrm{C}}_2^2{\mathrm{C}}_6^1=6$ 种结果。 所求概率为 $\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$。

（3）抽出的 $3$ 张卡片上的数字互不相同，可先从 $4$ 个数字中选出 $3$ 个， 再从每个数字对应的两张卡片中各取一张，共有 ${\mathrm{C}}_4^3\cdot 2^3=32$ 种结果。 所求概率为 $\frac{32}{56}=\frac{4}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：卡片古典概型

核心方法：组合计数分问求概率

避坑指南：总数 ${\mathrm{C}}_8^3=56$：(1) $1-\frac{{\mathrm{C}}_6^3}{{\mathrm{C}}_8^3}=\frac{9}{14}$；(2) $\frac{{\mathrm{C}}_2^2{\mathrm{C}}_6^1}{56}=\frac{3}{28}$；(3) $\frac{{\mathrm{C}}_4^3\cdot 2^3}{56}=\frac{4}{7}$；对立事件与分类各归其位

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自古典概型组合计数，概率综合题

结论推广: “至多至少”对立事件与分类计数推广到抽卡模型

方法推广: 同数字两张卡是计数关键

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-18 解-卡片抽取概率
• 2008-浙江文-19 解-摸球古典概型