2006-山东文-17 解-三次函数含参讨论

本题导读

本题考查导数的应用。核心在于导数根分域讨论。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 设函数 $f(x)=2x^3-3(a-1)x^2+1$，其中 $a⩾1$。 （1）求 $f(x)$ 的单调区间； （2）讨论 $f(x)$ 的极值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=6x^2-6(a-1)x=6x[x-(a-1)]$，零点 $0$ 与 $a-1$。
2. $a=1$ 时 $f^{\prime }(x)=6x^2⩾0$，$f$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。
3. $a>1$ 时 $0<a-1$：$(-\infty ,0)$、$(a-1,+\infty )$ 增，$(0,a-1)$ 减；极大 $f(0)=1$，极小 $f(a-1)=1-(a-1{)}^3$。

✅【答案】

Success

(1)$a=1$：增区间 $(-\infty ,+\infty )$；$a>1$：增区间 $(-\infty ,0)$、$(a-1,+\infty )$，减区间 $(0,a-1)$

(2)$a=1$ 无极值；$a>1$ 时极大值 $1$（$x=0$），极小值 $1-(a-1{)}^3$（$x=a-1$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）对函数求导，得 $f^{\prime }(x)=6x^2-6(a-1)x=6x[x-(a-1)]$。 当 $a=1$ 时，$f^{\prime }(x)=6x^2⩾0$，且函数在任意小区间上都不是常值函数，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增。 当 $a>1$ 时，两个零点为 $0$ 和 $a-1$，且 $0<a-1$。 由 $f^{\prime }(x)$ 的符号可知，$f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$、$(a-1,+\infty )$ 上单调递增，在 $(0,a-1)$ 上单调递减。

（2）当 $a=1$ 时，$f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 两侧均为正，函数没有极值。 当 $a>1$ 时，$f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处由正变负，所以函数在 $x=0$ 处取得极大值 $f(0)=1$。 又 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=a-1$ 处由负变正，所以函数在该点取得极小值， 且 $f(a-1)=2(a-1{)}^3-3(a-1)(a-1{)}^2+1=1-(a-1{)}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数含参讨论

核心方法：导数根分域讨论

避坑指南：$f^{\prime }=6x(x-(a-1))$：$a=1$ 时 $f^{\prime }=6x^2⩾0$ 恒增无极值；$a>1$ 时极大 $f(0)=1$、极小 $1-(a-1{)}^3$；$a=1$ 单独讨论是采分点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自三次函数含参单调极值，讨论型大题

结论推广: $f^{\prime }=6x(x-(a-1))$ 分域讨论推广到含参二次导数

方法推广: 参数临界值（$a=1$）单独成类

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2008-山东文-21 解-三次型函数极值与大小比较
• 2008-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调性含参