2006-山东文-16 填-正三棱柱点面距

本题导读

本题考查点面距，以及空间向量。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 如图，在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，所有棱长均为 $1$，则点 $B_1$ 到平面 $AB{C}_1$ 的距离为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：$A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$C_1=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1\right)$，$B_1=(1,0,1)$。
2. 平面 $AB{C}_1$ 过原点，$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$、$\overrightarrow{A{C}_1}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1\right)$，法向量 $\left(0,-1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，方程 $-y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0$。
3. $d=\frac{\left|\frac{\sqrt{3}}{2}\right|}{\sqrt{1+\frac{3}{4}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{21}}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，取 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，并令棱柱的高所在方向为 $z$ 轴。 则 $C_1=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1\right)$，$B_1=(1,0,1)$。 平面 $AB{C}_1$ 内的两个不共线向量可取 $\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$ 和 $\overrightarrow{A{C}_1}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1\right)$， 其法向量可取 $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{A{C}_1}=\left(0,-1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。 因为平面过原点，所以其方程为 $-y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0$。 因而点 $B_1$ 到该平面的距离为 $\frac{\left|\frac{\sqrt{3}}{2}\times 1\right|}{\sqrt{(-1{)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱点面距

核心方法：建系法向量求距离

避坑指南：底面边长 $1$ 的高 $1$：$\vec{n}=(0,-1,\frac{\sqrt{3}}{2})$，$d=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{A{B}_1}|}{|\vec{n}|}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$；法向量模别算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自正三棱柱点面距，向量法标准题

结论推广: 建系法向量求距离推广到一切柱体

方法推广: 底面 $60^{\circ }$ 建系坐标含 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2008-湖北文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2009-大纲Ⅱ文-19 解-直三棱柱线面角