2006-山东文-15 填-抛物线弦纵平方和

本题导读

本题考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 已知抛物线 $y^2=4x$，过点 $P(4,0)$ 的直线与抛物线相交于 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 两点，则 $y_1^2+y_2^2$ 的最小值是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 非竖直直线 $y=k(x-4)$（$k\ne 0$）代入 $x=\frac{y^2}{4}$：$k{y}^2-4y-16k=0$，$y_1+y_2=\frac{4}{k}$，$y_1{y}_2=-16$。
2. $y_1^2+y_2^2=(y_1+y_2{)}^2-2y_1{y}_2=\frac{16}{k^2}+32>32$。
3. 竖直线 $x=4$：交点 $(4,\pm 4)$，$y_1^2+y_2^2=32$。故最小值 $32$。

✅【答案】

Success

$32$

✍【详细解析】

Abstract

先考虑非竖直直线，设其方程为 $y=k(x-4)$。当 $k\ne 0$ 时，由抛物线方程 $x=\frac{y^2}{4}$， 得 $k{y}^2-4y-16k=0$。设其两个根为 $y_1$、$y_2$，则 $y_1+y_2=\frac{4}{k}$，$y_1{y}_2=-16$。 所以 $y_1^2+y_2^2=(y_1+y_2{)}^2-2y_1{y}_2=\frac{16}{k^2}+32>32$。 竖直直线 $x=4$ 经过 $P$，与抛物线交于 $(4,4)$、$(4,-4)$，此时 $y_1^2+y_2^2=16+16=32$。 因此最小值为 $32$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线弦纵平方和

核心方法：韦达定理加竖直线检验

避坑指南：$k\ne 0$ 时 $y_1+y_2=\frac{4}{k}$、$y_1{y}_2=-16$，$y_1^2+y_2^2=\frac{16}{k^2}+32>32$；竖直线 $x=4$ 恰得 $32$；“斜率不存在”情形常是最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自抛物线焦点弦韦达结构，定值最值题

结论推广: $y_1^2+y_2^2$ 型韦达推广到一切二次齐次

方法推广: 斜率不存在情形要单独算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-15 填-抛物线中点弦面积
• 2008-重庆文-08 单-双曲线焦点与抛物线准线