2006-山东文-06 单-正弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理，以及解三角形。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $A=\frac{\pi }{3}$，$a=\sqrt{3}$，$b=1$，则 $c=$ ()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{3}-1$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\sin \frac{\pi }{3}}=2$，故 $\sin B=\frac{b}{2}=\frac{1}{2}$。
2. $B$ 可为 $\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$；但 $b=1<a=\sqrt{3}$，大边对大角得 $B<A=\frac{\pi }{3}$，只能 $B=\frac{\pi }{6}$。
3. $C=\pi -A-B=\frac{\pi }{2}$，$c=2\sin C=2$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\sin (\pi /3)}=2$，从而 $\sin B=\frac{b}{2}=\frac{1}{2}$。 又 $0<B<\pi -A=\frac{2\pi }{3}$，且 $b=1<a=\sqrt{3}$，大边对大角，$B<A$，故 $B=\frac{\pi }{6}$（舍去 $\frac{5\pi }{6}$）。 进而 $C=\pi -A-B=\frac{\pi }{2}$。因此 $c=2\sin C=2$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理解三角形

核心方法：正弦定理定角再求边

避坑指南：$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{1}{2}$；$b<a\Rightarrow B<A$ 排除 $\frac{5\pi }{6}$，$B=\frac{\pi }{6}$，$C=\frac{\pi }{2}$，$c=2$；大边对大角定取舍

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自正弦定理解三角形，基本量题

结论推广: “解的个数判定”推广到一切 SSA 型

方法推广: $\sin B=\frac{1}{2}$ 两解要靠边角关系排除

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-04 单-正弦定理求角
• 2008-辽宁文-17 解-正余弦定理解三角形