2006-山东文-01 单-集合新定义运算

本题导读

本题考查集合的新定义运算，以及集合元素的性质。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 定义集合运算：$A\odot B=\{z\mid z=xy(x+y),x\in A,y\in B\}$，设集合 $A=\{0,1\}$，$B=\{2,3\}$，则集合 $A\odot B$ 的所有元素之和为 ()

A. $0$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $12$　　　　　　　D. $18$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 按 $z=xy(x+y)$ 对 $x\in \{0,1\}$、$y\in \{2,3\}$ 枚举。
2. $x=0$ 时 $z=0$（两个 $y$ 值均得 $0$）；$x=1,y=2$ 时 $z=1\times 2\times 3=6$；$x=1,y=3$ 时 $z=1\times 3\times 4=12$。
3. 集合元素互异：$A\odot B=\{0,6,12\}$，和为 $18$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

当 $x=0$ 时，$z=xy(x+y)=0$；当 $x=1$ 时，取 $y=2$ 或 $y=3$，分别得到 $z=1\times 2\times 3=6$ 或 $z=1\times 3\times 4=12$。 因此 $A\odot B=\{0,6,12\}$（集合元素互异，$0$ 不重复计入）， 所有元素之和为 $0+6+12=18$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合新定义运算

核心方法：按定义枚举再去重

避坑指南：$x=0$ 时 $z=0$；$x=1$ 时 $y=2$ 给 $6$、$y=3$ 给 $12$，$A\odot B=\{0,6,12\}$，和 $18$；集合元素互异别重复计

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自新定义集合运算，信息迁移题

结论推广: $A\odot B$ 枚举法推广到各类自定义运算

方法推广: 新定义题第一步永远是代值枚举

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-01 单-集合交并补运算
• 2008-上海卷文-15 单-优于新定义劣弧