2006-安徽卷理-22 解-双曲线离心率与弦长

本题导读

本题考查双曲线的离心率与弦长问题。第(1)问核心在于由平行四边形条件确定 $P$ 的横坐标 $x_P=\frac{b^2}{c}$，再用焦半径公式 $|PF|=e{x}_P-a$ 建立 $e$ 与 $\lambda$ 的关系；第(2)问由 $\lambda =1$ 解出 $e=2$ 定出双曲线形状，再对过焦点平行于 $OP$ 的直线用韦达定理求弦长定 $a$。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 如图，$F$ 为双曲线 $C$: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0$, $b>0$) 的右焦点，$P$ 为双曲线 $C$ 右支上一点，且位于 $x$ 轴上方，$M$ 为左准线上一点，$O$ 为坐标原点. 已知四边形 $OFPM$ 为平行四边形，$|PF|=\lambda |OF|$.

(1) 写出双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 与 $\lambda$ 的关系式；

(2) 当 $\lambda =1$ 时，经过焦点 $F$ 且平行于 $OP$ 的直线交双曲线于 $A$、$B$ 点，若 $|AB|=12$，求此时的双曲线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 定 $x_P$：平行四边形 $OFPM$ 中 $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{FP}$，由 $M$ 在左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$ 上反推 $x_P=c-\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{c}$；再由焦半径 $|PF|=e{x}_P-a$ 与 $|PF|=\lambda c$ 建立关系。 (2) 定形状：$\lambda =1$ 代入(1)解 $e=2$，即 $c=2a$、$b^2=3a^2$；求 $P$ 坐标与 $OP$ 斜率，写出直线方程联立双曲线，韦达定理求弦长 $|AB|=12a=12$，得 $a=1$。

✅【答案】

Success

(1) $e^2-\lambda e-2=0$

(2) $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $F(c,0)$，$P(x_P,y_P)$（$y_P>0$）。四边形 $OFPM$ 为平行四边形，故 $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{FP}$，即 $M=P-F=(x_P-c,y_P)$。 由 $M$ 在左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$ 上，得 $x_P-c=-\frac{a^2}{c}$，即 $x_P=c-\frac{a^2}{c}=\frac{c^2-a^2}{c}=\frac{b^2}{c}.$ 双曲线右支的焦半径公式：$|PF|=e{x}_P-a$。又 $|OF|=c$，$|PF|=\lambda c$，故 $\lambda c=e\cdot \frac{b^2}{c}-a=\frac{c}{a}\cdot \frac{c^2-a^2}{c}-a=\frac{c^2-2a^2}{a},$ 两边除以 $a$：$\lambda e=e^2-2$，即 $e^2-\lambda e-2=0.$

(2) 当 $\lambda =1$ 时，$e^2-e-2=0$，解得 $e=2$（$e=-1$ 舍去），故 $c=2a$，$b^2=c^2-a^2=3a^2$。双曲线为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1$。 此时 $x_P=\frac{b^2}{c}=\frac{3a^2}{2a}=\frac{3}{2}a$，代入双曲线：$y_P^2=b^2\left(\frac{x_P^2}{a^2}-1\right)=3a^2\cdot \frac{5}{4}=\frac{15}{4}{a}^2$，$y_P=\frac{\sqrt{15}}{2}a$。 所以 $k_{OP}=\frac{y_P}{x_P}=\frac{\sqrt{15}}{3}$，过 $F(2a,0)$ 且平行于 $OP$ 的直线为 $y=\frac{\sqrt{15}}{3}(x-2a)$。 代入双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1$，两边乘：两边乘 $9a^2$ 得 $9x^2-15(x-2a{)}^2=9a^2$，展开整理： $2x^2-20ax+23a^2=0.$ 设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=10a$，$x_1{x}_2=\frac{23}{2}{a}^2$， $|x_1-x_2|=\sqrt{(10a{)}^2-4\cdot \frac{23}{2}{a}^2}=\sqrt{100a^2-46a^2}=\sqrt{54}a=3\sqrt{6}a.$ $|AB|=\sqrt{1+k_{OP}^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{15}{9}}\cdot 3\sqrt{6}a=\frac{2\sqrt{6}}{3}\cdot 3\sqrt{6}a=12a.$ 由 $|AB|=12$ 得 $a=1$，$b^2=3$。故所求双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{3}=1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平行四边形向量化、双曲线焦半径公式、韦达定理与弦长公式。
• 核心方法：由 $M$ 在左准线反解 $x_P=\frac{b^2}{c}$；$|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{\sqrt{\Delta }}{|A_{x^2}|}$。
• 避坑指南：焦半径公式 $|PF|=e{x}_P-a$ 只对右支成立，且 $x_P=\frac{b^2}{c}$ 必须先由平行四边形条件推出，不能凭图直接读；联立消元时注意分母 $3a^2$ 的处理，$2x^2-20ax+23a^2=0$ 的判别式 $\Delta =108a^2$ 勿算错；最终 $|AB|=12a$ 是「系数恰好消尽」的结构性结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是「平行四边形+准线+焦半径+弦长」的多条件综合压轴题。 结论推广: 平行四边形 $OFPM$（$M$ 在左准线）约束下 $P$ 的横坐标恒为 $\frac{b^2}{c}$；右支焦半径 $|PF|=e{x}_P-a$ 与 $|P{F}_2|=e{x}_P+a$ 配合可秒算焦距比。过焦点斜率为 $k$ 的弦长公式 $|AB|=\frac{2a{b}^2\sqrt{1+k^2}{c}^2}{|b^2-a^2{k}^2|}$ 可作快速验算（本题代入得 $12a$，与逐项计算一致）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2007-湖南文-19 解-双曲线焦点弦点积定值
• 2008-大纲Ⅰ文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2008-湖北文-20 解-双曲线方程与面积定斜率