2006-安徽卷理-20 解-抽象函数齐次性与极值

本题导读

本题考查抽象函数的赋值法与分段函数的极值讨论。第(1)(2)问核心在于对 $f(ax)=af(x)$ 选取特殊值（$x=0$、$x=\pm 1$）完成证明；第(3)问在 $x>0$ 上将 $g(x)$ 化为具体函数后用导数讨论单调性与极值。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义，对任意实数 $a>0$ 和任意实数 $x$，都有 $f(ax)=af(x)$.

(1) 证明 $f(0)=0$；

(2) 证明 $f(x)=\{\begin{array}{ll}kx,& x\ge 0,\\ hx,& x<0,\end{array}$ 其中 $k$ 和 $h$ 均为常数；

(3) 当(2)中的 $k>0$ 时，设 $g(x)=\frac{1}{f(x)}+f(x)$ ($x>0$)，讨论 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内的单调性并求极值.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 取 $x=0$：$f(0)=af(0)$ 对一切 $a>0$ 成立，取 $a\ne 1$ 即得。 (2) 分段赋值：$x>0$ 时令 $a=x$、$x=1$ 得 $f(x)=xf(1)$；$x<0$ 时令 $a=-x$、$x=-1$ 得 $f(x)=-xf(-1)=x\cdot (-f(-1))$。 (3) 化具体再求导：$x>0$ 时 $g(x)=\frac{1}{kx}+kx$，求导定单调区间与极值点。

✅【答案】

Success

(1)(2) 见解析

(3) $g(x)$ 在 $\left(0,\frac{1}{k}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{1}{k},+\infty \right)$ 上单调递增；极小值为 $g\left(\frac{1}{k}\right)=2$，无极大值

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $f(ax)=af(x)$ 中取 $x=0$，得 $f(0)=af(0)$。取 $a=2$（任意 $a\ne 1$ 均可），得 $f(0)=2f(0)$，故 $f(0)=0$.

(2) 当 $x>0$ 时，在 $f(ax)=af(x)$ 中取 $a=x$、$x=1$，得 $f(x)=xf(1)$； 当 $x<0$ 时，取 $a=-x>0$、$x=-1$，得 $f(x)=f((-x)\cdot (-1))=(-x)f(-1)=x\cdot \left[-f(-1)\right]$； 结合(1)中 $f(0)=0$，记 $k=f(1)$，$h=-f(-1)$，则对一切 $x\in \mathbf{R}$ 有 $f(x)=\{\begin{array}{ll}kx,& x\ge 0,\\ hx,& x<0,\end{array}$ 其中 $k$、$h$ 为常数.

(3) 当 $k>0$ 且 $x>0$ 时，$f(x)=kx$，故 $g(x)=\frac{1}{kx}+kx.g^{\prime }(x)=k-\frac{1}{k{x}^2}=\frac{k^2{x}^2-1}{k{x}^2}.$（$x>0$，$k>0$） 令 $g^{\prime }(x)=0$，得 $x=\frac{1}{k}$（负根舍去）。 当 $0<x<\frac{1}{k}$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；当 $x>\frac{1}{k}$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。 故 $g(x)$ 在 $x=\frac{1}{k}$ 处取得极小值 $g\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{k\cdot \frac{1}{k}}+k\cdot \frac{1}{k}=1+1=2,$ 无极大值.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抽象函数赋值法、齐次函数方程 $f(ax)=af(x)$ 的结构、导数求极值。
• 核心方法：选 $a$ 或 $x$ 的特殊值把抽象式变成具体等式；$g(x)$ 为对勾函数型，极小值 $2$ 于 $\frac{1}{k}$ 处取得。
• 避坑指南：第(2)问 $x<0$ 段务必取 $a=-x$ 保证 $a>0$；第(3)问极值点是 $\frac{1}{k}$ 而不是 $1$，极小值为常数 $2$——若把 $g(x)$ 误写成 $\frac{1}{x}+kx$ 会得出 $k+1$ 的错误结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是函数方程 $f(ax)=af(x)$（正齐次性）背景下的抽象函数证明与极值综合题。 结论推广: 满足 $f(ax)=af(x)$（$a>0$）的函数恰为「正齐次函数」，在原点两侧各为过原点的射线；$\frac{1}{kx}+kx$ 型对勾函数的极小值恒为 $2$，极值点位置由 $k$ 控制。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-20 解-函数极值
• 2008-四川文-20 解-五次函数极值定参
• 2008-大纲Ⅱ文-21 解-三次函数极值与最值恒成立