2006-安徽卷理-19 解-正六边形外一点线面垂直

本题导读

本题考查线面垂直的证明与二面角的计算。第(1)问核心在于利用「$BF$ 垂直于平面 $PAO$ 内两条相交直线」实现线线垂直到线面垂直再到线线垂直的转化；第(2)问建系后用法向量夹角求二面角。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 如图，$P$ 是边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ 所在平面外一点，$PA=1$，$P$ 在平面 $ABC$ 内的射影为 $BF$ 的中点 $O$.

(1) 证明：$PA\perp BF$；

(2) 求面 $APB$ 与面 $DPB$ 所成二面角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 找垂直链：正六边形中 $AB=AF$，故 $A$ 在 $BF$ 的垂直平分线上，$AO\perp BF$；又 $P$ 的射影为 $O$，$PO\perp$ 底面，得 $PO\perp BF$；从而 $BF\perp$ 平面 $PAO$，$PA\perp BF$。 (2) 建系：以 $O$ 为原点、$OB$ 为 $x$ 轴、$OA$ 为 $y$ 轴、$OP$ 为 $z$ 轴建系；先由 $PA=1$ 与 $OA=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 求出 $PO$，再求两面法向量夹角。

✅【答案】

Success

(1) 见解析

(2) $\pi -\arctan \frac{4\sqrt{6}}{3}$（即 $\arccos \left(-\frac{3}{\sqrt{105}}\right)\approx 107^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 连接 $AO$。因为 $ABCDEF$ 是正六边形，$AB=AF=1$，所以点 $A$ 在线段 $BF$ 的垂直平分线上；又 $O$ 为 $BF$ 的中点，故 $AO\perp BF$。 因为 $P$ 在平面 $ABC$ 内的射影为 $O$，所以 $PO\perp$ 平面 $ABCDEF$，而 $BF\subset$ 平面 $ABCDEF$，故 $PO\perp BF$。 又 $AO\cap PO=O$，$AO,PO\subset$ 平面 $PAO$，所以 $BF\perp$ 平面 $PAO$。而 $PA\subset$ 平面 $PAO$，故 $PA\perp BF$.

(2) 由 $AB=AF=1$、$BF=\sqrt{3}$（正六边形短对角线），得 $OA=\sqrt{1^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}$。由 $PA=1$、$PO\perp$ 底面，得 $PO=\sqrt{P{A}^2-O{A}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 以 $O$ 为原点，$OB$、$OA$、$OP$ 所在直线分别为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，则 $O(0,0,0),B\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},0,0\right),A\left(0,\frac{1}{2},0\right),P\left(0,0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right),D\left(0,-\frac{3}{2},0\right).$ （$D$ 为 $A$ 的对径点，$O$ 为 $BF$ 中点即底面中心上方 $\frac{1}{2}$ 处的对角线交点所在水平线。） $\overrightarrow{PA}=\left(0,\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\overrightarrow{PB}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\overrightarrow{PD}=\left(0,-\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ 面 $APB$ 的法向量 ${\vec{n}}_1=\overrightarrow{PA}\times \overrightarrow{PB}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4},\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$，取 ${\vec{n}}_1=(-\sqrt{3},3,\sqrt{3})$； 面 $DPB$ 的法向量 ${\vec{n}}_2=\overrightarrow{PD}\times \overrightarrow{PB}=\left(\frac{3\sqrt{3}}{4},\frac{3}{4},-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)$，取 ${\vec{n}}_2=(\sqrt{3},1,-\sqrt{3})$。 $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{-3+3-3}{\sqrt{15}\cdot \sqrt{7}}=-\frac{3}{\sqrt{105}}.$（以未化简法向量计算：${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=-\frac{9}{16}$，$|{\vec{n}}_1|=\frac{\sqrt{15}}{4}$，$|{\vec{n}}_2|=\frac{3\sqrt{7}}{4}$，结果一致。） 由图可知二面角 $A\text{-}PB\text{-}D$ 为钝角，故所求二面角为 $\theta =\arccos \left(-\frac{3}{\sqrt{105}}\right)=\pi -\arctan \frac{\sqrt{105-9}}{3}=\pi -\arctan \frac{4\sqrt{6}}{3}.$ 即面 $APB$ 与面 $DPB$ 所成二面角的大小为 $\pi -\arctan \frac{4\sqrt{6}}{3}$（约 $107^{\circ }$）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线面垂直判定定理、正六边形对角线性质、法向量法求二面角。
• 核心方法：$BF\perp$ 平面 $PAO$ 的垂直链转化；二面角取钝角由图形位置判定。
• 避坑指南：$OA=\frac{1}{2}$ 容易误取 $\frac{\sqrt{3}}{2}$——$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 是 $BF$ 的一半（短对角线长 $\sqrt{3}$）；法向量夹角的余弦为负说明两面夹角为钝角，需结合图形判定取钝角而非一律取锐角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题以正六边形为背景考查射影与二面角，是空间向量法的典型应用题。 结论推广: 正六边形边长 $a$ 时短对角线长 $\sqrt{3}a$、长对角线长 $2a$；顶点到垂直于对角线中点的距离为 $\frac{a}{2}$。圆锥外一点射影落在底面特殊点时，先算射影高再建系是通用路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2007-安徽文-17 解-四棱台共面垂直二面角
• 2007-大纲卷II理-19 解-二面角
• 2007-山东卷理-19 解-用空间向量求二面角