2006-安徽卷理-17 解-同角二倍角求值

本题导读

本题考查同角三角函数关系与恒等变换求值。核心在于第(1)问由 $\tan \alpha +\cot \alpha$ 构造关于 $\tan \alpha$ 的一元二次方程并用角的范围取舍根；第(2)问将分式整体降幂化简为关于 $\tan \alpha$ 的齐次式后代入求值。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 已知 $\frac{3\pi }{4}<\alpha <\pi$，$\tan \alpha +\cot \alpha =-\frac{10}{3}$.

(1) 求 $\tan \alpha$ 的值；

(2) 求 $\frac{5{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+8\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}+11{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-8}{\sqrt{2}\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 构造方程：$\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{{\tan }^2\alpha +1}{\tan \alpha }$，化为 $\tan \alpha$ 的一元二次方程，解出两根后用 $\alpha \in \left(\frac{3\pi }{4},\pi \right)$（$\tan \alpha \in (-1,0)$）取舍。 (2) 降幂化简：分子用降幂公式 ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$、${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}$ 与二倍角 $\sin \alpha$ 化为 $\cos \alpha$、$\sin \alpha$ 的组合；分母用 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \alpha$；整体化为 $\tan \alpha$ 的式子代入。

✅【答案】

Success

(1) $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$

(2) $-\frac{5\sqrt{2}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{{\tan }^2\alpha +1}{\tan \alpha }=-\frac{10}{3}$，去分母整理得 $3{\tan }^2\alpha +10\tan \alpha +3=0,\text{即}(3\tan \alpha +1)(\tan \alpha +3)=0,$ 解得 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$ 或 $\tan \alpha =-3$。 因为 $\frac{3\pi }{4}<\alpha <\pi$，所以 $\tan \alpha \in (-1,0)$，故 $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$。

(2) 分子：由降幂公式与二倍角公式， $5{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+8\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}+11{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-8$ $=5\cdot \frac{1-\cos \alpha }{2}+4\sin \alpha +11\cdot \frac{1+\cos \alpha }{2}-8=8+3\cos \alpha +4\sin \alpha -8=3\cos \alpha +4\sin \alpha .$ 分母：$\sqrt{2}\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=\sqrt{2}\cdot (-\cos \alpha )=-\sqrt{2}\cos \alpha$。 所以原式 $=\frac{3\cos \alpha +4\sin \alpha }{-\sqrt{2}\cos \alpha }=-\frac{3+4\tan \alpha }{\sqrt{2}}=-\frac{3+4\times \left(-\frac{1}{3}\right)}{\sqrt{2}}=-\frac{5}{3\sqrt{2}}=-\frac{5\sqrt{2}}{6}.$ 故所求值为 $-\frac{5\sqrt{2}}{6}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：齐次式化切、降幂公式、诱导公式 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \alpha$。
• 核心方法：分式上下同除 $\cos \alpha$ 化为 $\tan \alpha$ 的表达式（齐次化切）。
• 避坑指南：第(1)问解出两根 $-\frac{1}{3}$ 与 $-3$ 后必须用角的范围取舍，$\alpha \in \left(\frac{3\pi }{4},\pi \right)$ 时 $\tan \alpha \in (-1,0)$；第(2)问分子是「减 8 之后的整体」，若忘记 $-8$ 与 $8+3\cos \alpha +4\sin \alpha$ 的抵消，式子将无法化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是三角恒等变换的常规解答题，「已知和式求单值 + 齐次分式求值」是经典组合。 结论推广: 形如 $A{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+B\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}+C{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+D$ 的式子，降幂后必为 $p\cos \alpha +q\sin \alpha +r$ 型；分母含 $\sin \left(\alpha \pm \frac{\pi }{2}\right)$ 时化为 $\mp \cos \alpha$，整体即成齐次分式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-17 解-二倍角公式
• 2012-福建卷(理)-17 解-二倍角公式
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