2006-安徽卷理-13 填-二项式系数与极限

本题导读

本题考查二项式定理与数列极限的综合。核心在于先用通项公式由 $x^3$ 的系数列方程求出常数 $a$，再代入无穷等比数列求和公式 $\frac{a}{1-a}$ 求极限。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 设常数 $a>0$，${\left(a{x}^2+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^4$ 展开式中 $x^3$ 的系数为 $\frac{3}{2}$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }(a+a^2+\cdots +a^n)=\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

写通项：$T_{r+1}=C_4^r(a{x}^2{)}^{4-r}{x}^{-\frac{r}{2}}$，整理出 $x$ 的幂。 定 $r$ 求 $a$：令指数为 $3$，由系数 $C_4^r{a}^{4-r}=\frac{3}{2}$ 解出 $a$。 求极限：$a<1$ 时无穷等比数列求和 $\frac{a}{1-a}$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(a{x}^2+x^{-\frac{1}{2}}\right)}^4$ 的通项为 $T_{r+1}=C_4^r(a{x}^2{)}^{4-r}{\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^r=C_4^r{a}^{4-r}{x}^{8-2r-\frac{r}{2}}=C_4^r{a}^{4-r}{x}^{8-\frac{5}{2}r}.$ 令 $8-\frac{5}{2}r=3$，得 $r=2$。此时 $x^3$ 的系数为 $C_4^2{a}^2=6a^2=\frac{3}{2}$，解得 $a^2=\frac{1}{4}$，又 $a>0$，故 $a=\frac{1}{2}$。 于是 ${\lim }_{n\to \infty }(a+a^2+\cdots +a^n)=\frac{a}{1-a}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$ 故填 $1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式通项公式、特定项系数、无穷等比数列求和。
• 核心方法：通项定 $r$、系数定 $a$、求和取极限三步走。
• 避坑指南：本题展开式的「系数」不含二项式系数以外的符号问题（$a>0$ 无正负讨论），$x$ 的指数 $8-\frac{5}{2}r$ 是分数指数，令其为整数 $3$ 时 $r$ 必须恰为整数，这一步检验不能省。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是二项式定理与极限的综合小题，考查通项公式的熟练运用。 结论推广: $(a{x}^m+b{x}^n{)}^k$ 中 $x^p$ 项由 $m(4-r)+nr=p$ 定 $r$；$|a|<1$ 时 $\underset{n\to \infty }{\lim }(a+a^2+\cdots +a^n)=\frac{a}{1-a}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-安徽卷理-12 填-二项展开式通项公式
• 2007-大纲卷II理-13 填-二项展开式通项公式常数项
• 2007-天津卷理-11 填-二项展开式通项公式