2006-安徽卷理-10 单-线性规划最大值

本题导读

本题考查线性规划问题。核心在于画出可行域三角形，确定三个顶点坐标，再将目标函数 $2x-y$ 在各顶点处取值比较得最大值。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 如果实数 $x$, $y$ 满足条件 $\{\begin{array}{l}x-y+1\ge 0,\\ y+1\ge 0,\\ x+y+1\le 0,\end{array}$ 那么 $2x-y$ 的最大值为 ()

A. $2$　　B. $1$　　C. $-2$　　D. $-3$

🔍【思路分析】

破题导航

定可行域：三条直线围成一个三角形，求三顶点坐标。 顶点代入：线性目标函数的最值在顶点处取得，逐一代入 $z=2x-y$ 比较。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线两两相交，求顶点： $x-y+1=0$ 与 $y+1=0$：$y=-1$，$x=-2$，得 $(-2,-1)$； $y+1=0$ 与 $x+y+1=0$：$y=-1$，$x=0$，得 $(0,-1)$； $x-y+1=0$ 与 $x+y+1=0$：相加得 $2x+2=0$，$x=-1$，$y=0$，得 $(-1,0)$。

可行域为以 $(-2,-1)$、$(0,-1)$、$(-1,0)$ 为顶点的三角形（含边界）。 计算 $z=2x-y$：在 $(-2,-1)$ 处 $z=-3$；在 $(0,-1)$ 处 $z=1$；在 $(-1,0)$ 处 $z=-2$。 故最大值为 $1$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二元一次不等式组围成的可行域、线性目标函数最值在顶点处取得。
• 核心方法：顶点代入法。
• 避坑指南：联立方程组求交点时不要把「哪两条直线」配错；$z=2x-y$ 在 $(0,-1)$ 与 $(-1,0)$ 的值符号相反，代入粗心容易选成 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是线性规划的基础题（旧课标内容），考查数形结合。 结论推广: 线性目标函数在凸多边形可行域上的最值必在顶点处取得；顶点个数少时直接代入比平移直线更快。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-02 单-简单线性规划最值问题
• 2008-天津卷理-02 单-线性规划
• 2008-北京卷理-05 单-线性规划