2006-安徽卷理-09 单-正八面体外接球

本题导读

本题考查正八面体的外接球问题。核心在于由表面积反求棱长，再利用正八面体的对称性——把顶点放到三条互相垂直的对称轴上，直接读出外接球半径。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 表面积为 $2\sqrt{3}$ 的正八面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的体积为 ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$　　B. $\frac{1}{3}\pi$　　C. $\frac{2}{3}\pi$　　D. $\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

求棱长：正八面体 8 个面都是全等的正三角形，由表面积列方程。 定外接球半径：正八面体可视为两个共底四棱锥拼接，6 个顶点位于三条互相垂直的对称轴上，且顶点到中心距离相等，外接球半径即该距离。 算体积：代入球的体积公式。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设正八面体棱长为 $a$。它有 8 个正三角形面，每个面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$，故表面积 $8\times \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=2\sqrt{3}{a}^2=2\sqrt{3},$ 解得 $a=1$。

正八面体的 6 个顶点位于三条互相垂直的对称轴上，且各顶点到中心的距离都等于外接球半径 $R$。相邻两顶点间的距离即棱长，由对称轴上相邻顶点与中心构成直角三角形（两条直角边均为 $R$），得 $R^2+R^2=a^2=1⟹R=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 故球的体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{3}\pi ,$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正八面体的表面积与对称结构、外接球半径的确定。
• 核心方法：正八面体 6 顶点在三条互相垂直的对称轴上，棱长 $a=\sqrt{2}R$。
• 避坑指南：正八面体棱长与外接球半径的关系 $a=\sqrt{2}R$ 容易与立方体（$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}R$）混淆；表面积是 8 个面而非 6 个面。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是正多面体外接球的经典题，考查空间想象与对称性运用。 结论推广: 正八面体棱长 $a$ 与外接球半径 $R$ 满足 $a=\sqrt{2}R$（对径顶点距离 $2R=\sqrt{2}a$）；正四面体则为 $a=\frac{2\sqrt{6}}{3}R$，两类模型的半径公式需分开记忆。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-09 单-外接球与球面距离
• 2012-北京卷(理)-07 单-外接球
• 2013-辽宁卷文-10 单-直三棱柱外接球