2006-安徽卷理-07 单-导数求切线方程

本题导读

本题考查导数的几何意义与两直线垂直。核心在于「已知切线求切点」的逆向运用：由垂直关系确定切线斜率，再由 $y=x^4$ 的导数反求切点横坐标。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 若曲线 $y=x^4$ 的一条切线 $l$ 与直线 $x+4y-8=0$ 垂直，则 $l$ 的方程为 ()

A. $4x-y-3=0$　　B. $x+4y-5=0$　　C. $4x-y+3=0$　　D. $x+4y+3=0$

🔍【思路分析】

破题导航

定切线斜率：直线 $x+4y-8=0$ 斜率为 $-\frac{1}{4}$，垂直则 $l$ 的斜率为 $4$。 定切点：$y=x^4$ 的导数 $y=4x^3$，令 $4x_0^3=4$ 得切点。 写方程：点斜式化一般式。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

直线 $x+4y-8=0$ 的斜率为 $-\frac{1}{4}$，切线 $l$ 与其垂直，故 $k_l=4$。 设切点为 $(x_0,x_0^4)$，由 $y=x^4$ 得 $y^{\prime }=4x^3$，则 $4x_0^3=4$，解得 $x_0=1$，切点为 $(1,1)$。 切线方程为 $y-1=4(x-1)$，即 $4x-y-3=0$，故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数 $f^{\prime }(x_0)$ 即切线斜率、垂直直线斜率互为负倒数。
• 核心方法：先由垂直定斜率，再解 $f^{\prime }(x_0)=k$ 定切点。
• 避坑指南：求出 $x_0=1$ 后切点纵坐标是 $x_0^4=1$ 而非 $4$；代入选项检验时注意 C 项 $4x-y+3=0$ 过 $(-1,-1)$，是用错切点符号的典型错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是导数几何意义的基础应用题，人教A版选择性必修第二册第五章同型。 结论推广: 「过曲线上一点」与「过曲线外一点」求切线的区别在于前者切点已知、后者需设切点解方程；本题属于斜率先行、切点后定的逆向型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-11 单-导数的几何意义与切线三角形
• 2009-江西卷文-12 单-公切线与切线方程
• 2010-新课标Ⅰ文-04 单-三次函数切线