2006-安徽卷理-06 单-三角图象平移定式

本题导读

本题考查三角函数图象平移与图象信息的读取。核心在于先按向量平移写出解析式，再利用图中标注的 $\frac{7\pi }{12}$ 处函数取最小值这一特征建立方程定 $\omega$。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 将函数 $y=\sin \omega x$ ($\omega >0$) 的图象按向量 $\vec{a}=\left(-\frac{\pi }{6},0\right)$ 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式是 ()

A. $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$　　B. $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$　　C. $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$　　D. $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$

🔍【思路分析】

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写平移后解析式：按 $\vec{a}=\left(-\frac{\pi }{6},0\right)$ 平移即左移 $\frac{\pi }{6}$，得 $y=\sin \omega \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$。 读图取特殊点：图中 $x=\frac{7\pi }{12}$ 处函数取得最小值 $-1$，代入建立关于 $\omega$ 的方程。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

按向量 $\vec{a}=\left(-\frac{\pi }{6},0\right)$ 平移，图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位，所得图象对应的解析式为 $y=\sin \omega \left(x+\frac{\pi }{6}\right).$ 由图可知，当 $x=\frac{7\pi }{12}$ 时函数取得最小值 $-1$，故 $\omega \left(\frac{7\pi }{12}+\frac{\pi }{6}\right)=2k\pi -\frac{\pi }{2},k\in \mathbf{Z},$ 即 $\omega \cdot \frac{3\pi }{4}=2k\pi -\frac{\pi }{2}$。当 $k=1$ 时，$\omega =\frac{\frac{3\pi }{2}}{\frac{3\pi }{4}}=2$。 所以平移后的解析式为 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$，故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：图象按向量平移（左移减自变量方向要注意）、由图象特殊点定 $\omega$。
• 核心方法：平移公式 + 特殊点代入。
• 避坑指南：按向量 $\vec{a}=(h,0)$ 平移后 $x$ 换为 $x-h$，$\vec{a}$ 的横坐标为负即左移，代入时 $x+\frac{\pi }{6}$ 不要写成 $x-\frac{\pi }{6}$；由最值点定 $\omega$ 时 $k$ 的取值需满足 $\omega >0$ 且与图象的周期观感一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是「三角函数图象变换」与「由图求解析式」的综合常规题。 结论推广: 图象按向量 $\vec{a}=(h,k)$ 平移后，$y=f(x)$ 变为 $y-k=f(x-h)$；正弦曲线上「最小值点横坐标 $=2k\pi -\frac{\pi }{2}$ 除以相位系数」是定 $\omega$ 的标准手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-安徽卷理-06 单-简谐波左右平移变换
• 2007-山东文-04 单-三角图象平移诱导公式
• 2007-湖北文-04 单-三角函数图象平移