2006-安徽卷理-04 单-充分不必要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定。核心在于分别检验 $p\Rightarrow q$ 与 $q\Rightarrow p$ 两个方向，其中 $q$ 的判断需借助作差变形 $(a-b{)}^2\ge 0$。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 设 $a,b\in \mathbf{R}$，已知命题 $p$: $a=b$；命题 $q$: ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\le \frac{a^2+b^2}{2}$，则 $p$ 是 $q$ 成立的 ()

A. 必要不充分条件　　B. 充分不必要条件　　C. 充分必要条件　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

判充分性：$a=b$ 代入 $q$ 验证是否成立。 判必要性：将 $q$ 作差化简，看能否反推 $a=b$，注意举反例。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

充分性：当 $a=b$ 时，${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=a^2$，$\frac{a^2+b^2}{2}=a^2$，等号成立，$q$ 成立，故 $p\Rightarrow q$。

必要性：$q$ 即 $\frac{(a+b{)}^2}{4}\le \frac{a^2+b^2}{2}$，去分母整理得 $(a+b{)}^2\le 2(a^2+b^2)⟺a^2+2ab+b^2\le 2a^2+2b^2⟺(a-b{)}^2\ge 0,$ 这是恒不等式，对任意 $a,b$ 都成立，与 $a=b$ 无关。取 $a=0$，$b=1$，$q$ 成立而 $p$ 不成立，故 $q\nRightarrow p$。

综上，$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：充分条件与必要条件的双向判定、基本不等式 $\frac{a^2+b^2}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$。
• 核心方法：先充分后必要，双向独立检验。
• 避坑指南：$q$ 化简后是恒成立的不等式（平方差非负），容易被「$q$ 太弱了不可能推出 $p$」的直觉迷惑，判定必须落实到具体推导或反例，不能凭感觉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题将常用不等式 ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\le \frac{a^2+b^2}{2}$ 嵌入充分必要条件的判定框架，属逻辑与不等式的小综合。 结论推广: ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\le \frac{a^2+b^2}{2}$ 当且仅当 $a=b$ 时取等号；判定条件关系时，恒成立的不等式对应的命题对任何前提都真。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-03 单-充要条件判定
• 2007-湖北文-09 单-充要条件与不等式
• 2007-重庆文-05 单-充要条件等价判定