2006-安徽卷理-02 单-集合交补运算

本题导读

本题考查集合的描述法表示与交、补混合运算。核心在于先分别确定 $A$、$B$ 的确切范围，再按运算顺序求 $A\cap B$ 与其在 $\mathbf{R}$ 中的补集。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(理)） 设集合 $A=\{x\mid |x-2|\le 2,x\in \mathbf{R}\}$，$B=\{y\mid y=-x^2,-1\le x\le 2\}$，则 ${\complement }_{\mathbf{R}}(A\cap B)$ 等于 ()

A. $\mathbf{R}$　　B. $\{x\mid x\in \mathbf{R},x\ne 0\}$　　C. $\{0\}$　　D. $\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

求 $A$：解绝对值不等式 $|x-2|\le 2$ 得区间。 求 $B$：$B$ 是二次函数 $y=-x^2$ 在 $[-1,2]$ 上的值域，注意 $y\le 0$。 求交再求补：$A\cap B$ 之后在 $\mathbf{R}$ 中取补集。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $|x-2|\le 2$ 得 $0\le x\le 4$，即 $A=[0,4]$。 当 $-1\le x\le 2$ 时，$y=-x^2$ 的最大值为 $0$（$x=0$ 时），最小值为 $-4$（$x=2$ 时），故 $B=[-4,0]$。 于是 $A\cap B=\{0\}$，其在 $\mathbf{R}$ 中的补集为 $\{x\mid x\in \mathbf{R},x\ne 0\}$。 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值不等式、二次函数闭区间上的值域、交补运算。
• 核心方法：先化简每个集合为区间形式。
• 避坑指南：$B$ 是「$y$ 的取值集合」即函数值域而非定义域，$-1\le x\le 2$ 时 $y=-x^2$ 的最小值在 $x=2$ 处取 $-4$，不要误认为 $-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题综合了绝对值不等式与二次函数值域，是集合运算中的经典综合题。 结论推广: 求形如 $\{y\mid y=f(x),x\in D\}$ 的集合时，本质是求 $f(x)$ 在 $D$ 上的值域，与 $\{x\mid f(x)\in D\}$ 必须严格区分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅱ文-02 单-集合交并补运算
• 2007-重庆文-02 单-集合补集与交集
• 2008-四川文-01 单-集合交并补运算