2006-安徽文-22 解-双曲线准线平行四边形

本题导读

本题考查双曲线的准线。核心在于平行四边形转横坐标焦半径转 e。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 如图，$F$ 为双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右焦点，$P$ 为双曲线 $C$ 右支上一点，且位于 $x$ 轴上方，$M$ 为左准线上一点，$O$ 为坐标原点。已知四边形 $OFPM$ 为平行四边形，$|PF|=\lambda |OF|$。

(1) 写出双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 与 $\lambda$ 的关系式；

(2) 当 $\lambda =1$ 时，经过焦点 $F$ 且平行于 $OP$ 的直线交双曲线于 $A$、$B$ 点，若 $|AB|=12$，求此时的双曲线方程。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平行四边形 $OFPM$ 中 $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{FP}=P-F$，$M$ 在左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$ 上，得 $x_P=c-\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{c}$。
2. 由第二定义 $|PF|=e\left(x_P-\frac{a^2}{c}\right)=\frac{c^2-2a^2}{a}$，又 $|PF|=\lambda c$，两边除以 $a$ 得 $e^2-\lambda e-2=0$。
3. $\lambda =1$：$e=2$，$c=2a$，$b^2=3a^2$；$x_P=\frac{3a}{2}$，$y_P=\frac{\sqrt{15}}{2}a$，$k_{OP}=\frac{\sqrt{15}}{3}$。
4. 直线 $y=\frac{\sqrt{15}}{3}(x-2a)$ 代入双曲线得 $4x^2+20ax-29a^2=0$，$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=12a=12$，$a=1$。

✅【答案】

Success

(1) $e^2-\lambda e-2=0$

(2) $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$，即 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $|OF|=c$。由四边形 $OFPM$ 为平行四边形，得 $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{FP}$，即 $M=P-F$， 所以 $x_M=x_P-c$。$M$ 在左准线 $x=-\frac{a^2}{c}$ 上，故 $x_P-c=-\frac{a^2}{c}$，$x_P=c-\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{c}$。 $P$ 在右支上，$P$ 到右准线 $x=\frac{a^2}{c}$ 的距离为 $x_P-\frac{a^2}{c}=\frac{c^2-2a^2}{c}$。 由双曲线第二定义，$|PF|=e\left(x_P-\frac{a^2}{c}\right)=\frac{c}{a}\cdot \frac{c^2-2a^2}{c}=\frac{c^2-2a^2}{a}$。 又 $|PF|=\lambda |OF|=\lambda c$，故 $\frac{c^2-2a^2}{a}=\lambda c$，即 $c^2-\lambda ac-2a^2=0$， 两边除以 $a^2$ 得 $e^2-\lambda e-2=0$。 (2) $\lambda =1$ 时，$e^2-e-2=0$，$e=2$（舍 $e=-1$）。$c=2a$，$b^2=c^2-a^2=3a^2$，双曲线为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1$。 $x_P=\frac{b^2}{c}=\frac{3a}{2}$；代入得 $y_P^2=3a^2\left(\frac{9}{4}-1\right)=\frac{15a^2}{4}$，$y_P=\frac{\sqrt{15}}{2}a$（$x$ 轴上方）。 $k_{OP}=\frac{y_P}{x_P}=\frac{\sqrt{15}}{3}$，直线 $AB$：$y=\frac{\sqrt{15}}{3}(x-2a)$。 代入双曲线：$9x^2-5(x-2a{)}^2=9a^2$，即 $4x^2+20ax-29a^2=0$。 $x_1-x_2=\frac{\sqrt{400a^2+464a^2}}{4}=\frac{12\sqrt{6}}{4}a=3\sqrt{6}a$， $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{\frac{8}{3}}\times 3\sqrt{6}a=12a$。 由 $|AB|=12$ 得 $a=1$，$b^2=3$。 所以双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$。 ★【裁定】本小问曾与答案册结论比对：复算 $|AB|=12a$（若斜率误算为 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 会错得 $|AB|=2\sqrt{3}a$），两遍复算确认 $k_{OP}=\frac{\sqrt{15}}{3}$、$a=1$，与答案册 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 一致。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线准线平行四边形

核心方法：平行四边形对边相等转焦半径

避坑指南：$PM\parallel OF$ 且 $M$ 在左准线，得 $P$ 横坐标 $c-\frac{a^2}{c}=\frac{b^2}{c}$；右焦半径 $e{x}_0-a=\lambda c$ 化为 $e^2-\lambda e-2=0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自双曲线准线与平行四边形，解析几何高难题

结论推广: 平行四边形条件转坐标，焦半径公式转离心率关系

方法推广: 横坐标由准线与平行条件定，$|PF|=e{x}_0-a$ 是桥梁

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江文-08 单-双曲线离心率
• 2008-大纲Ⅰ文-22 解-双曲线渐近线弦长