2006-安徽文-17 解-同角二倍角求值

本题导读

本题考查同角三角函数关系。核心在于同角求全再降周期。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 已知 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，$\sin \alpha =\frac{4}{5}$。

(1) 求 $\frac{{\sin }^2\alpha +\sin 2\alpha }{{\cos }^2\alpha +\cos 2\alpha }$ 的值；

(2) 求 $\tan \left(\alpha -\frac{5\pi }{4}\right)$ 的值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\alpha$ 为锐角，$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{3}{5}$，$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{4}{3}$。
2. (1) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{24}{25}$，$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =-\frac{7}{25}$，分子分母分别合并后作比。
3. (2) $\tan$ 的周期为 $\pi$：$\tan \left(\alpha -\frac{5\pi }{4}\right)=\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)$，再套差角正切公式。

✅【答案】

Success

(1) $20$

(2) $\frac{1}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，$\sin \alpha =\frac{4}{5}$，得 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$。 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\times \frac{4}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{24}{25}$， $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\frac{9}{25}-\frac{16}{25}=-\frac{7}{25}$。 分子 ${\sin }^2\alpha +\sin 2\alpha =\frac{16}{25}+\frac{24}{25}=\frac{40}{25}=\frac{8}{5}$， 分母 ${\cos }^2\alpha +\cos 2\alpha =\frac{9}{25}-\frac{7}{25}=\frac{2}{25}$。 故原式 $=\frac{8}{5}÷\frac{2}{25}=\frac{8}{5}\times \frac{25}{2}=20$。 (2) $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{4}{3}$。 由正切函数周期为 $\pi$：$\tan \left(\alpha -\frac{5\pi }{4}\right)=\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}-\pi \right)=\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)$。 由差角公式 $\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha -1}{1+\tan \alpha }=\frac{\frac{4}{3}-1}{1+\frac{4}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}}=\frac{1}{7}$。 ★【裁定】答案册 (2) 给 $\frac{1}{3}$，与复算不符：$\frac{\tan \alpha -1}{1+\tan \alpha }=\frac{1}{7}$ 才正确（$\frac{1}{3}$ 疑为只算了分子 $\tan \alpha -1$），多源官方详解均为 $\frac{1}{7}$，按 $\frac{1}{7}$ 录入。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角二倍角求值

核心方法：同角求全再用差角公式

避坑指南：$\sin \alpha =\frac{4}{5}$ 得 $\cos \alpha =\frac{3}{5}$、$\tan \alpha =\frac{4}{3}$；$\tan (\alpha -\frac{5\pi }{4})=\tan (\alpha -\frac{\pi }{4})=\frac{\tan \alpha -1}{1+\tan \alpha }=\frac{1}{7}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自同角三角函数与差角公式，三角求值标准题

结论推广: $\tan (\alpha -\frac{5\pi }{4})=\tan (\alpha -\frac{\pi }{4})$ 用周期先化简再套公式

方法推广: 大角先降周期，$\tan$ 周期 $\pi$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅱ文-04 单-同角三角函数
• 2014-江苏卷-15 解-同角三角函数
• 2010-北京文-15 解-二倍角化简与最值