2006-安徽文-14 填-向量线性表示

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及向量的线性表示。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 在平行四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，$\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NC}$，$M$ 为 $BC$ 的中点，则 $\overrightarrow{MN}=$ $\underline{}$。（用 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$；由 $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NC}$ 得 $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}(\vec{a}+\vec{b})$。
2. $M$ 为 $BC$ 中点：$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$。
3. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}(\vec{a}+\vec{b})-\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}=-\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}=\frac{1}{4}(\vec{b}-\vec{a})$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{4}(\vec{b}-\vec{a})$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NC}$，得 $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}(\vec{a}+\vec{b})$。 $M$ 为 $BC$ 的中点，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\left(\vec{a}+\vec{a}+\vec{b}\right)=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$。 于是 $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}(\vec{a}+\vec{b})-\left(\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\right)=-\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}=\frac{1}{4}(\vec{b}-\vec{a})$。 ★【裁定】答案册给 $\frac{1}{4}(\vec{a}-\vec{b})$，符号相反；官方详解（bodocs：“MN=3/4(a+b)−(a+1/2b)=1/4(b−a)“）与复算一致，按 $\frac{1}{4}(\vec{b}-\vec{a})$ 录入。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：选基底、把图中向量拆成基底的线性组合，再合并同类项。

2. 核心方法：所有向量先统一到同一个起点 $A$，用 $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$ 化成”终点减起点”，再各自展开。

3. 避坑指南：

• $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NC}$ 不是”$N$ 在 $AC$ 的 $\frac{3}{4}$ 处”这么随口一说：由 $AN:NC=3:1$ 得 $AN=\frac{3}{4}AC$，系数是 $\frac{3}{4}$；写成 $\frac{1}{3}$ 是把它读成了 $NC:AN$。
• 中点要写成平均，不是写成一半的边：$M$ 为 $BC$ 中点，从 $A$ 出发是 $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$；只写 $\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ 就丢了起点。
• 减法顺序：$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$，写成 $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}$ 会得到相反向量 $-\frac{1}{4}(\vec{b}-\vec{a})$，长度对、方向反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查的是平面向量基本定理的直接落地——平行四边形给了一组天然基底 $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$、$\vec{b}=\overrightarrow{AD}$，图上每个点都能写成 $A+x\vec{a}+y\vec{b}$，于是”求 $\overrightarrow{MN}$“就是”求 $M$、$N$ 两点各自的坐标再相减”。

2. 结论推广：把 $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NC}$ 换成 $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{NC}$，则 $\overrightarrow{AN}=\frac{k}{k+1}\overrightarrow{AC}$，本题一切系数跟着变成 $\frac{k}{k+1}$ 与 $\frac{1}{k+1}$。$k=3$ 时正是 $\frac{3}{4}$ 与 $\frac{1}{4}$。

3. 方法推广：只要图上所有点都由”边向量加减 + 定比分点”生成，就一定能在同一组基底下算出来——这类题不需要任何技巧，需要的是每一步都写清”从哪个点走到哪个点”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-12 填-向量线性运算
• 2014-天津卷理-08 单-向量线性运算