2006-安徽文-11 单-三角形形状判定

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及三角形形状判定。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 如果 $△A_1{B}_1{C}_1$ 的三个内角的余弦值分别等于 $△A_2{B}_2{C}_2$ 的三个内角的正弦值，则 ()

A. $△A_1{B}_1{C}_1$ 和 $△A_2{B}_2{C}_2$ 都是锐角三角形

B. $△A_1{B}_1{C}_1$ 和 $△A_2{B}_2{C}_2$ 都是钝角三角形

C. $△A_1{B}_1{C}_1$ 是钝角三角形，$△A_2{B}_2{C}_2$ 是锐角三角形

D. $△A_1{B}_1{C}_1$ 是锐角三角形，$△A_2{B}_2{C}_2$ 是钝角三角形

🔍【思路分析】

破题导航

1. 余弦值均为正，故 $A_1{B}_1{C}_1$ 是锐角三角形。
2. 反设 $A_2{B}_2{C}_2$ 也是锐角：$\cos A_1=\sin A_2=\cos (90^{\circ }-A_2)$，两锐角相等得 $A_1=90^{\circ }-A_2$，即 $A_1+A_2=90^{\circ }$。
3. 三对相加：$A_1+B_1+C_1+A_2+B_2+C_2=270^{\circ }$，与 $180^{\circ }+180^{\circ }=360^{\circ }$ 矛盾。
4. 故 $A_2{B}_2{C}_2$ 中有钝角（如 $A_2=90^{\circ }+A_1$），选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$△A_1{B}_1{C}_1$ 的三个内角的余弦值均为正，所以 $△A_1{B}_1{C}_1$ 是锐角三角形。 反设 $△A_2{B}_2{C}_2$ 也是锐角三角形： 由 $\cos A_1=\sin A_2=\cos (90^{\circ }-A_2)$，且 $A_1$、$90^{\circ }-A_2$ 均为锐角，得 $A_1=90^{\circ }-A_2$，即 $A_1+A_2=90^{\circ }$。 同理 $B_1+B_2=90^{\circ }$，$C_1+C_2=90^{\circ }$。 三式相加得两三角形内角和为 $270^{\circ }$，与 $360^{\circ }$ 矛盾。 故 $△A_2{B}_2{C}_2$ 不能是锐角三角形，其中必有钝角， 例如 $A_2=90^{\circ }+A_1$、$B_2=90^{\circ }-B_1$、$C_2=90^{\circ }-C_1$ 时正弦值恰与余弦值对应相等。 所以 $△A_1{B}_1{C}_1$ 是锐角三角形，$△A_2{B}_2{C}_2$ 是钝角三角形，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形形状判定

核心方法：余弦全正定锐角再推钝角

避坑指南：余弦值均为正则 $△A_1{B}_1{C}_1$ 锐角；$\cos A_1=\sin A_2=\cos (90^{\circ }-A_2)$ 得 $A_1+A_2=90^{\circ }$ 等三对，相加 $270^{\circ }\ne 360^{\circ }$ 矛盾，故 $A_2$ 中有钝角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自三角形形状判定，正余弦互换的推理题

结论推广: 余弦正弦互换定形状推广到”角互余”类结构

方法推广: 三内角余弦均正则锐角；另一个三角形的钝角由求和矛盾推出

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-09 单-三角形形状判断
• 2012-上海卷文-17 单-三角形形状判定