2006-安徽文-08 单-对勾函数最值

本题导读

本题考查对勾函数，以及函数的最值。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 对于函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$（$0<x<\pi$），下列结论正确的是 ()

A. 有最大值而无最小值　　　　　　　　B. 有最小值而无最大值

C. 有最大值且有最小值　　　　　　　　D. 既无最大值又无最小值

🔍【思路分析】

破题导航

1. $0<x<\pi$ 时 $\sin x\in (0,1]$，令 $t=\sin x$。
2. $f=t+\frac{1}{t}$：对勾函数在 $(0,1]$ 上单调递减。
3. $t=1$ 时 $f=2$ 为最小值；$t\to 0^{+}$ 时 $f\to +\infty$，无最大值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=\sin x$，因 $0<x<\pi$，故 $t\in (0,1]$。 函数化为 $g(t)=t+\frac{1}{t}$，对勾函数在 $(0,1]$ 上单调递减， 当 $t=1$（即 $x=\frac{\pi }{2}$）时取得最小值 $g(1)=2$； 当 $t\to 0^{+}$ 时 $g(t)\to +\infty$，无最大值。 故函数有最小值而无最大值，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对勾函数最值

核心方法：换元化对勾函数

避坑指南：令 $t=\sin x\in (0,1]$，$f=t+\frac{1}{t}⩾2$ 在 $t=1$ 取最小，$t\to 0^{+}$ 无最大；对勾函数 $⩾2$ 但上界无界

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自对勾函数值域分析，换元思想经典题

结论推广: $t+\frac{1}{t}$ 在 $(0,1]$ 递减得最小 $2$，推广到闭区间对勾函数最值

方法推广: 换元必先定新元范围，开区间端点取不到即无最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-09 单-对勾函数最值
• 2011-重庆卷文-07 单-对勾函数最值