2006-安徽文-07 单-直线与圆相离

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及圆的一般方程。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)） 直线 $x+y=1$ 与圆 $x^2+y^2-2ay=0$（$a>0$）没有公共点，则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $(0,\sqrt{2}-1)$　　B. $(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1)$　　C. $(-\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1)$　　D. $(0,\sqrt{2}+1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆 $x^2+(y-a{)}^2=a^2$：圆心 $(0,a)$，半径 $a$（$a>0$）。
2. 无公共点即圆心到直线距离大于半径：$\frac{|0+a-1|}{\sqrt{2}}>a$。
3. $a<1$ 时：$\frac{1-a}{\sqrt{2}}>a\Rightarrow 1-a>\sqrt{2}a\Rightarrow a<\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$。
4. 故 $0<a<\sqrt{2}-1$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2-2ay=0$ 化为 $x^2+(y-a{)}^2=a^2$，圆心 $(0,a)$，半径 $a$（$a>0$）。 直线 $x+y=1$ 到圆心的距离 $d=\frac{|0+a-1|}{\sqrt{2}}=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$。 没有公共点需 $d>a$。 当 $a⩾1$ 时 $\frac{a-1}{\sqrt{2}}>a$ 无解；当 $0<a<1$ 时 $\frac{1-a}{\sqrt{2}}>a$，即 $1-a>\sqrt{2}a$， 解得 $a<\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$。 故 $a$ 的取值范围是 $(0,\sqrt{2}-1)$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆相离

核心方法：圆心距大于半径列不等式

避坑指南：圆心 $(0,a)$ 半径 $a$，圆心距 $\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}>a$ 且 $a>0$，解得 $0<a<\sqrt{2}-1$；别忘半径就是 $a$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自直线与圆位置关系，圆心距与半径比较

结论推广: 相离条件 $d>r$ 列不等式，推广到含参圆的判定

方法推广: 圆 $x^2+y^2-2ay=0$ 圆心 $(0,a)$、半径 $a$，别把半径写成 $2a$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-10 单-直线与圆公共点
• 2008-福建文-14 填-直线与圆相离