2006-天津卷理-20 解-函数在给定开区间上单调性的参数域控制

本题导读

本题是一道以三次多项式函数为载体，考查导数求极值、极值符号控制及区间单调性特征的压轴大题。第一问通过特殊值分析导数零点两侧的变号特征判定极值；第二问通过一阶导数驻点建立极小值代数式并求解三角不等式；第三问将区间严格单调递增特征转化为导数大于或等于零在闭区间上恒成立的问题。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=4x^3-3x^2\cos \theta +\frac{3}{16}\cos \theta$，其中 $x\in \mathbf{R}$， $\theta$ 为参数，且 $0\le \theta <2\pi$.

(1) 当 $\cos \theta =0$ 时，判断函数 $f(x)$ 是否有极值；

(2) 要使函数 $f(x)$ 的极小值大于零，求参数 $\theta$ 的取值范围；

(3) 若对 (2) 中所求的取值范围内的任意参数 $\theta$，函数 $f(x)$ 在区间 $(2a-1,a)$ 内都是增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：将 $\cos \theta =0$ 直接代入函数解析式，得到 $f(x)=4x^3$。对其求导分析一阶导数在零点两侧是否发生符号改变，从而做出极值存在性判定。 第二问：对原函数求导得 $f^{\prime }(x)=12x^2-6x\cos \theta =6x(2x-\cos \theta )$。令 $f^{\prime }(x)=0$ 解得两个驻点 $x_1=0,x_2=\frac{1}{2}\cos \theta$。

• 若 $\cos \theta =0$，由(1)知无极值；
• 若 $\cos \theta \ne 0$，分别讨论 $\cos \theta >0$ 与 $\cos \theta <0$ 下两个驻点的大小关系，找出对应的极小值点，将其代入 $f(x)$ 建立关于 $\cos \theta$ 的不等式，从而求解出 $\theta$ 的取值范围。 第三问：函数在开区间 $(2a-1,a)$ 内是增函数，要求在该区间内一阶导数 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立。
• 首先该区间必须合法，满足 $2a-1<a⟹a<1$。
• 因为导函数 $f^{\prime }(x)=12x(x-\frac{1}{2}\cos \theta )$ 的正负区间由两根 0 和 $\frac{1}{2}\cos \theta$ 决定，其递增区间为 $(-\infty ,\text{较小根}]\cup [\text{较大根},+\infty )$。要使给定区间包含在递增区间内，需将区间整体推向两端，结合(2)中 $\theta$ 对应的 $\cos \theta$ 动界，应用最不利原则（边界极端化）求解出 $a$ 的公共交集范围。

✅【答案】

Success

实数 $a$ 的取值范围为：$a\in (-\infty ,0]\cup \left[\frac{4+\sqrt{3}}{8},1\right)$

✍【详细解析】

Abstract

解：对函数 $f(x)=4x^3-3x^2\cos \theta +\frac{3}{16}\cos \theta$ 求导数： $f^{\prime }(x)=12x^2-6x\cos \theta =6x(2x-\cos \theta )$

（1）当 $\cos \theta =0$ 时， 代入导数式可得： $f^{\prime }(x)=12x^2$ 显然，对于任意 $x\ne 0$，恒有 $f^{\prime }(x)>0$。 当 $x$ 从负值穿过 0 变到正值时， 导数 $f^{\prime }(x)$ 的符号并没有发生改变（一直为正）。 根据极值的定义， 导数不相异变号则非极值点。 所以，当 $\cos \theta =0$ 时，函数 $f(x)$ 没有极值。

（2）令 $f^{\prime }(x)=0$， 解得两个驻点横坐标分别为： $x_1=0,x_2=\frac{1}{2}\cos \theta$ 由 (1) 知，要使函数存在极值， 必须满足 $\cos \theta \ne 0$。

• 若 $\cos \theta >0$ 时： 此时 $x_1=0<x_2=\frac{1}{2}\cos \theta$。 当 $x\in (-\infty ,0)$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增； 当 $x\in (0,\frac{1}{2}\cos \theta )$ 时， $f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减； 当 $x\in (\frac{1}{2}\cos \theta ,+\infty )$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增。 所以，当 $x=\frac{1}{2}\cos \theta$ 时， 函数 $f(x)$ 取得极小值。 将该点代入原函数中，使极小值大于零： $f\left(\frac{1}{2}\cos \theta \right)=4{\left(\frac{1}{2}\cos \theta \right)}^3-3{\left(\frac{1}{2}\cos \theta \right)}^2\cos \theta +\frac{3}{16}\cos \theta >0$ $4\times \frac{1}{8}{\cos }^3\theta -3\times \frac{1}{4}{\cos }^3\theta +\frac{3}{16}\cos \theta >0⟹\frac{1}{2}{\cos }^3\theta -\frac{3}{4}{\cos }^3\theta +\frac{3}{16}\cos \theta >0$ $-\frac{1}{4}{\cos }^3\theta +\frac{3}{16}\cos \theta >0$ 由于此时大前提是 $\cos \theta >0$，不等式两边同除以 $\cos \theta$ 符号不变： $-\frac{1}{4}{\cos }^2\theta +\frac{3}{16}>0⟹{\cos }^2\theta <\frac{3}{4}$ 开方可得 $-\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos \theta <\frac{\sqrt{3}}{2}$。与 $\cos \theta >0$ 取交集： $0<\cos \theta <\frac{\sqrt{3}}{2}$ 结合 $0\le \theta <2\pi$， 解得此时 $\theta$ 的范围为： $\theta \in \left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi }{2},\frac{11\pi }{6}\right)$

• 若 $\cos \theta <0$ 时： 此时 $x_2=\frac{1}{2}\cos \theta <x_1=0$。 同理分析导数穿轴符号， 当 $x$ 从左向右通过 0 时， 导数由负变正。 所以，当 $x=0$ 时， 函数 $f(x)$ 取得极小值。 将 $x=0$ 代入原函数中，使极小值大于零： $f(0)=0-0+\frac{3}{16}\cos \theta >0⟹\cos \theta >0$ 这与当前大前提条件 $\cos \theta <0$ 产生刚性矛盾， 此时无解。

综上所述，要使极小值大于零， 参数 $\theta$ 的取值范围为 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi }{2},\frac{11\pi }{6}\right)$。 对应的余弦值区间锁死为： $\cos \theta \in \left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

（3）首先， 函数 $f(x)$ 在区间 $(2a-1,a)$ 内有意义， 必须保证区间非空： $2a-1<a⟹a<1$

由 (2) 可知，当 $\cos \theta \in \left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 时， 导函数 $f^{\prime }(x)=12x\left(x-\frac{1}{2}\cos \theta \right)$ 的两根满足 $0<\frac{1}{2}\cos \theta$。 此时， $f^{\prime }(x)\ge 0$ 对应的单调递增区间为： $(-\infty ,0]\text{和}\left[\frac{1}{2}\cos \theta ,+\infty \right)$ 要使区间 $(2a-1,a)$ 内都是增函数，该开区间必须整体作为子集包含在上述两个单调递增区间之一内。

• 子情况一： 区间包含在左侧单调增区间内 $\{\begin{array}{l}a<1\\ (2a-1,a)\subset (-\infty ,0]⟹a\le 0\end{array}⟹a\le 0$

• 子情况二： 区间包含在右侧单调增区间内 $(2a-1,a)\subset \left[\frac{1}{2}\cos \theta ,+\infty \right)⟹2a-1\ge \frac{1}{2}\cos \theta$ 根据题目要求， 该不等式必须对任意满足 $\cos \theta \in \left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 的参数恒成立。 应用最不利原则， $2a-1$ 必须大于或等于右侧动界的绝对最大值： $2a-1\ge {\left(\frac{1}{2}\cos \theta \right)}_{\text{max}}$ 因为 $\cos \theta <\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以其上确界（最大极限）为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。 代入开边界条件： $2a-1\ge \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}⟹2a-1\ge \frac{\sqrt{3}}{4}⟹2a\ge 1+\frac{\sqrt{3}}{4}⟹a\ge \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{8}$ 结合区间合法大前提 $a<1$，由于 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{8}\approx 0.5+0.216=0.716<1$， 此分支解集有效。

综上所述，实数 $a$ 的取值范围为： $a\in (-\infty ,0]\cup \left[\frac{4+\sqrt{3}}{8},1\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三次函数极值点的变号审查、一阶导数驻点在含参变化下的左右大小分流讨论、区间单调增转化为子集包含关系的恒成立放缩。
• 核心方法：分类讨论法、参变边界极端化最不利原理。
• 避坑指南：
• 第二问中当 $\cos \theta <0$ 时，极小值点转换到了 $x=0$ 处，千万不要想当然认为无论什么时候都是非零根取得极小值，高分压轴题必须严密排查驻点大小顺序颠倒引起的极值颠倒。
• 第三问求解 $a$ 范围前，务必先写出隐含的区间合法性底线条件 $2a-1<a⟹a<1$，漏掉此项会导致右侧开边界扩大化从而扣除关键分数。

📖【试题探源与推广】

Tip

因此a∈(−∞, 0] ∪⎡⎢⎣12 + √38 , 1⎞⎟⎠

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调性含参
• 2009-大纲Ⅱ文-21 解-导数单调与恒成立
• 2010-新课标Ⅰ文-21 解-导数单调与恒成立