2006-天津卷理-17 解-两角和的正弦公式、二倍角公式

本题导读

本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换。第一问直接运用余弦定理求解边 $AB$；第二问通过正弦定理和同角三角函数关系求出 $\sin A$ 和 $\cos A$，再利用两角和的正弦公式与二倍角公式进行展开计算。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(理)） 如图，在 $△ABC$ 中， $AC=2,BC=1,\cos C=\frac{3}{4}$.

(1) 求 $AB$ 的值；

(2) 求 $\sin (2A+C)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：已知三角形两边及其夹角的余弦值，直接套用余弦定理 $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC\cdot BC\cdot \cos C$ 即可求得 $AB$。 第二问：首先利用同角三角函数平方关系求出 $\sin C$。利用正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$ 求出 $\sin A$，并结合大边对大角确定 $\cos A$ 的符号及数值。将目标式展开为 $\sin (2A+C)=\sin 2A\cos C+\cos 2A\sin C$，利用二倍角公式统一化为单角 $A$ 和 $C$ 的三角函数值代入计算。

✅【答案】

Success

(1) $AB=\sqrt{2}$；

(2) $\sin (2A+C)=\frac{3\sqrt{7}}{8}$。

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）在 $△ABC$ 中，已知 $AC=2,BC=1,\cos C=\frac{3}{4}$。 根据余弦定理： $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2AC\cdot BC\cdot \cos C$ 代入已知数据： $A{B}^2=2^2+1^2-2\times 2\times 1\times \frac{3}{4}=4+1-3=2$ 因为边长 $AB>0$，所以： $AB=\sqrt{2}$

（2）因为 $C\in (0,\pi )$，且 $\cos C=\frac{3}{4}$， 所以： $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

根据正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$，可得： $\sin A=\frac{BC\cdot \sin C}{AB}=\frac{1\times \frac{\sqrt{7}}{4}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}}{8}$ 因为 $BC=1<AB=\sqrt{2}$，根据大边对大角，角 $A$ 必为锐角。 所以： $\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{14}}{8}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{14}{64}}=\sqrt{\frac{50}{64}}=\frac{5\sqrt{2}}{8}$

利用二倍角公式计算 $\sin 2A$ 与 $\cos 2A$ 的值： $\sin 2A=2\sin A\cos A=2\times \frac{\sqrt{14}}{8}\times \frac{5\sqrt{2}}{8}=\frac{2\times 10\sqrt{7}}{64}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$ $\cos 2A=1-2{\sin }^{2}A=1-2\times \frac{14}{64}=1-\frac{7}{16}=\frac{9}{16}$

利用两角和的正弦公式对目标式进行展开： $\sin (2A+C)=\sin 2A\cos C+\cos 2A\sin C$ 代入上述求得的所有三角函数值： $\sin (2A+C)=\frac{5\sqrt{7}}{16}\times \frac{3}{4}+\frac{9}{16}\times \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{64}+\frac{9\sqrt{7}}{64}=\frac{24\sqrt{7}}{64}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$

(1) $AB=\sqrt{2}$； (2) $\sin (2A+C)=\frac{3\sqrt{7}}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：解三角形核心定理、同角三角函数符号判定、复合角的三角恒等变形。
• 核心方法：公式直接法、恒等展开法。
• 避坑指南：
• 第二问求出 $\sin A$ 后，必须通过边长关系 $BC<AB$ 判断角 $A$ 的范围为锐角，从而确立 $\cos A>0$。若盲目认为 $\cos A$ 存在正负双解，会导致最终答案出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查解三角形与三角恒等变换综合交汇最标准的常规中档解答题第一题（第17题位置）。 结论推广: 针对任意已知两边及夹角余弦的三角形，其内部任意复合角 $\sin (\alpha A+\beta C)$ 的定量化简， 均可通过两基本定理无损还原为全单角分量进行代数封闭求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.01 正弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2007-山东文-17 解-正切求余弦与余弦定理
• 2008-重庆文-17 解-余弦定理角与恒等变换
• 2009-天津文-17 解-正余弦定理二倍角